Математическое ожидание биномиального закона

Содержание:

Математическое ожидание биномиального закона

Для любой дискретной случайной величины математическое ожидание составляет:

Может быть показано, что для случайной величины с биномиальным распределением вероятностей:

где — число опытов;

— вероятность успеха в каждом из них;

— биномиальная вероятность.

Аналогично стандартное отклонение для дискретной случайной величины равно:

Для случайной величины с биномиальным распределением вероятностей:

Следовательно, дисперсия равна где — вероятность “неудачи» в любом из опытов.

Эти характеристики биномиального распределения расчитаны в примере 2.5.

Пример 2.5. По данным примера 2.4 найдем математическое ожидание сломавшихся за день станков и стандартное отклонение. Для расчетов используем сначала общую формулу для и , а потом формулу для биномиального распределения.

Таблица 2.7. Вероятность поломки станков в день

По общей формуле ожидаемое количество поломок в день:

по формуле биномиального распределения:

т. е. ожидаемое количество поломок — один станок в день. Стандартное отклонение по общей формуле:

(до четырех знаков после запятой).

По формуле биномиального распределения:

(до четырех знаков после запятой), дисперсия:

Иногда нужно знать долю “успехов” в общем количестве опытов. Исходя из формулы математического ожидания, получим:

Формула стандартного отклонения доли “успехов” имеет следующий вид:

Отсюда в примере 2.5, предполагаемая доля поломок станков в день:

а стандартное отклонение:

(до трех знаков после запятой).

Дисперсия доли поломок в день:

Пример 2.6. Компания производит пружины, 10% из которых оказываются бракованными. Сто пружин отобраны для контроля качества. Требуется найти ожидаемое количество бракованных пружин и стандартное отклонение бракованных в отобранных образцах, а также вероятность того, что в выборке по меньшей мере 15 бракованных пружин.

Используем биномиальное распределение, так как:

1. Имеются 100 идентичных опытов.

2. Опыты независимы, так как пружины отбираются наугад.

3. Для каждого опыта возможны два исхода: пружина может быть с дефектом и без оного.

4. Вероятность, что любая из пружин имеет дефект, равна 0,1. Поскольку выборка делается из массовой партии, доля бракованных пружин сильно измениться не может.

Ожидаемое количество пружин с дефектом:

Стандартное отклонение брака:

Вероятность того, что имеется бракованных образцов в выборке:

Расчеты в данном случае займут много времени и места, поэтому методы приблизительного вычисления вероятности будут рассмотрены в § 2.5 и 2.8.

Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

Содержание

Определение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями:

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом 0,» alt= «n>0,» /> называемым числом испытаний, и вещественным числом называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти «успех» с вероятностью то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

  • Математическое ожидание:
  • Дисперсия:
  • Асимметрия: при распределение симметрично относительно центра

Асимптотические приближения при больших

Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром

Строгая формулировка: если и таким образом, что то

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром Тогда для произвольного множества справедливо неравенство:

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда а фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении в виде суммы слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям таким что имеет место

где — плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:

где случайная величина имеет стандартное нормальное распределение и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

где — функция распределения стандартного нормального закона:

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

где — функция распределения случайной величины На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений изменение будет невелико, однако для небольших это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пусть Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения не более чем на . Заметим, что значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

Ошибка приближения равна .

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

Ошибка приближения равна — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

Содержание

Определение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями:

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом 0,» alt= «n>0,» /> называемым числом испытаний, и вещественным числом называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти «успех» с вероятностью то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

  • Математическое ожидание:
  • Дисперсия:
  • Асимметрия: при распределение симметрично относительно центра

Асимптотические приближения при больших

Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром

Строгая формулировка: если и таким образом, что то

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром Тогда для произвольного множества справедливо неравенство:

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда а фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении в виде суммы слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям таким что имеет место

где — плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:

где случайная величина имеет стандартное нормальное распределение и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

где — функция распределения стандартного нормального закона:

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

где — функция распределения случайной величины На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений изменение будет невелико, однако для небольших это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пусть Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения не более чем на . Заметим, что значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

Ошибка приближения равна .

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

Ошибка приближения равна — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

Содержание

Определение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями:

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом 0,» alt= «n>0,» /> называемым числом испытаний, и вещественным числом называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти «успех» с вероятностью то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

  • Математическое ожидание:
  • Дисперсия:
  • Асимметрия: при распределение симметрично относительно центра

Асимптотические приближения при больших

Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром

Строгая формулировка: если и таким образом, что то

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром Тогда для произвольного множества справедливо неравенство:

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда а фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении в виде суммы слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям таким что имеет место

где — плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:

где случайная величина имеет стандартное нормальное распределение и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

где — функция распределения стандартного нормального закона:

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

где — функция распределения случайной величины На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений изменение будет невелико, однако для небольших это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пусть Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения не более чем на . Заметим, что значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

Ошибка приближения равна .

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

Ошибка приближения равна — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Биномиальное распределение и его предельные формы

Методические указания и примерная программа проведения лабораторной работы (практического занятия) в среде MathCad по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика”

1. Основные положения.

Пожалуй, самой распространенной вероятностной схемой, к которой сводится решение многих задач, является схема повторения независимых испытаний в неизменных условиях. Если в серии таких испытаний нас интересует только одно событие A , которое в каждом отдельном испытании может произойти с вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 — p , то мы приходим к так называемой схеме Бернулли.

Любое случайное событие удобно описывать с помощью специальной случайной величины – индикатора события ( I ). Индикатор события – это такая случайная величина, которая принимает значение, равное единице, если событие произошло и значение, равное нулю, если событие не произошло.

Введем случайную величину x , принимающую значения m , равное числу появления события А в серии из n испытаний. Множество элементарных событий для данного опыта (серии из n испытаний) состоит из всевозможных событий вида

где I i индикатор i-го испытания.

Видно, что А i можно рассматривать как последовательность, состоящую из m единиц и n – m нулей. Вероятность такого события равна произведению вероятностей появления события ровно m раз и его непоявления n – m раз:

.

Число элементарных событий < x = m > равно числу сочетаний из n элементов по m . Напомним, что число сочетаний из m элементов по n рассчитывается по формуле:

При больших n и m вычисления факториалов вычисляются приближенно по формуле Стирлинга ( 1730 г.):

( при n = 10 относительная погрешность вычислений не превышает 0.83%).

Окончательно, вероятность того, что в серии из n испытаний событие произойдет ровно m раз будет равно:

Распределение случайной величины, задаваемое формулой (1) называется биномиальным. Свое название она получила, от того, что значения P( m, n) являются членами в разложении (p + q) n по формуле бинома Ньютона:

Поскольку p + q = 1, то

Эта формула просто иллюстрирует аксиому теории вероятностей, cогласно которой вероятность достоверного события равна единице. Действительно, события

составляют полную группу событий.

Исследуем характер зависимости P( m, n) как функции от m . Для этого рассмотрим отношение:

Тогда интервал ее возрастания ( Q > 1) определится неравенством:

,

а интервал убывания ( Q

x i значения случайной величины x ,

p i — вероятности событий .

Для закона распределения случайной величины ( 1 ) мы получим:

,

Для дисперсии, по определению, имеем:

.

С учетом (1) получим:

2.2.Расчет числовых характеристик с помощью индикатора событий.

Аппарат индикаторов – чисто вероятностный метод – позволяет избежать громоздких формул суммирования.

Индикатор события I задается следующим законом распределения:

где I i — значения индикатора;

p i — вероятность события в отдельном испытании.

Математическое ожидание индикатора mI и дисперсия DI равны:

С помощью индикаторов отдельных испытаний Ii число появлений события А в схеме Бернулли выражается формулой:

Вычислим математические ожидания и дисперсии от обеих частей выражения (3):

3.Поведение при больших m и n.

3.1.Постановка задачи.

При больших m и n вычисления по формуле (1) становится затруднительным, так как, с одной стороны, факториалы больших чисел очень велики и возникает опасность переполнения разрядной сетки компьютера, с другой стороны, возведение в высокую степень чисел, меньше единицы ( p и q * = n*p . Используя формулу Стирлинга (1*) для факториалов , перепишем выражение для P( m, n) в следующем виде:

Введем новую переменную

,

которая равна отклонению m от своего математического ожидания. Полагая, что

,

разлагаем (4) в ряд Тейлора по степеням x и оставляя только главные члены, получим:

Тем самым мы доказали локальную предельную теорему Муавра:

Если вероятность наступления некоторого события в n независимых испытаниях постоянна и равна p , то вероятность P( m, n) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при соотношению (5).

3.2.2. Интегральная теорема Муавра — Лапласа

При подсчете вероятности попадания случайной величины в заданный промежуток значений необходимо суммировать вероятности отдельных ее значений, принадлежащих заданному промежутку. В этом случае справедлива интегральная теорема Лапласа , которая утверждает, что

3.3. Приближение Пуассона

Второй предел биномиального распределения, представляющий практический интерес, относится к случаю, когда при неограниченном увеличении числа испытаний математическое ожидание остается постоянным:

Если при , то перейдя к противоположному событию, мы получим тот же случай. Полагая m 1. Задать функцию биномиального распределения и построить ее график . 2. Исследовать зависимость формы кривой и положения ее максимума от параметров n, p. 3. Задать функцию нормального (стандартного) распределения и построить ее график. 4. Представить на одном рисунке графики стандартного и биномиального распределений. 5. Оценить качество аппроксимации биномиального распределения нормальным. 6. Задать функцию распределения Пуассона и построить ее график. 7. Представить на одном рисунке графики Пуассоновского и биномиального распределений. 8. Оценить качество аппроксимации биномиального распределения распределением Пуассона.

Это интересно:

  • Патенты велосипед Изобретение относится к велосипеду с педальным приводом, содержащим возвратно-поступательно движущиеся рычаги. На оси ведущего колеса (22) установлена наружная часть телескопического рычага. Шестерня (23) установлена на наружной части телескопического рычага. Дугообразная зубчатая рейка […]
  • Правило ведения бух учета в ко расположенные на рф Положение ЦБР от 5 декабря 2002 г. N 205-П "О правилах ведения бухгалтерского учета в кредитных организациях, расположенных на территории Российской Федерации" (с изменениями и дополнениями) (утратило силу) Положение ЦБР от 5 декабря 2002 г. N 205-П"О правилах ведения бухгалтерского […]
  • Красногорск переселение брусчатого поселка Заселение муниципального дома затянулось из-за ошибок при проектировании Через полгода вместо заявленных первоначально сроков в Красногорске планируется заселение муниципального жилого дома по улице Народного ополчения в рамках программы по расселению граждан из ветхого жилого фонда. […]
  • Полис обязательного страхования автогражданской ответственности осаго Приложение 3. Страховой полис обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортных средств Информация об изменениях: Приложение 3 изменено с 24 марта 2018 г. - Указание Банка России от 25 декабря 2017 г. N 4664-У Приложение 3к Положению Банка Россииот 19 сентября […]
  • Кто проводит в суде медиации О практике медиации по спорам, связанным с недвижмиостью С 01 января 2011 года вступил в действие Федеральный закон № 193-ФЗ от 27 июля 2010 года «Об альтернативной процедуре урегулирования споров с участием посредника (процедуре медиации)». Если ранее в случае возникновения правового […]
  • Заявление на совмещение профессий Заявление на совмещение должности (образец) Обновление: 27 июня 2017 г. Заявление работника о согласии на совмещение должностей Процедура оформления возложения на работника дополнительной работы законодательно не установлена; она сложилась и применяется на практике. Зачастую в нее […]
  • Хабибуллина суд Хабибуллина суд Письмо от Хабибуллиной Рашиды Сайфуловны . Спасибо вам за заботу о нас, за то, что вы, собрав мусульман, провели пикет в Москве, за Обращение, принятое перед пристанищем лживых чиновников. Благодарю всех, кто был с вами. Пусть Всевышний наградит вас достойной жизнью, […]
  • Заявление за свой счет на сессию образец Заявление на учебный отпуск: образец 2017 Обновление: 27 сентября 2017 г. Заявление на учебный отпуск (образец) Работники, которые параллельно с работой получают образование в учебных заведениях, могут столкнуться с тем, что такое совмещение в определенные моменты бывает невозможно, […]

Author: admin