Найти закон распределения случайной величины y

Непрерывные случайные величины. Системы случайных величин. Функция двух случайных аргументов. Формула свертки. Устойчивость нормального распределения , страница 3

Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина с рядом распределения

.

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Найти математическое ожидание функции .

Возможные значения Y:

; ; .

.

2. Пусть аргумент Х—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой: .

Если возможны значения , то .

Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции .

, , , ; Следовательно,

.

§ 17. Функция двух случайных аргументов.

Формула свертки. Устойчивость нормального распределения.

o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

.

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х—погрешность показаний измерительного прибора (распределена равномерно), то возникает задача—найти закон распределения суммы погрешностей .

Случай 1. Пусть Х и Y—дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y, заданы распределениями

Найти закон распределения случайной величины y

RKI

Долгожитель

ПРИМЕР 554
Случайная величина X имеет плотность распределения f(x). Найти плотность распределения случайной величины Y = |1-X|.
РЕШЕНИЕ
Случайная величина X имеет плотность распределения f(x).

F(y) = P(Y 0, то
F(y) = P(|1-X| 0
<0, y 0
<0, y Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 авг. 2009 11:08 | IP

RKI

Долгожитель

R(-П/2; П/2). Найти плотность распределения случайной величины Y = cosX.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале (-П/2; П/2): X

R(-П/2; П/2).
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = <1/П, -П/2 1, то
F(y) = P(cosX 1

Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
f(y) = <0, y 1

RKI

Долгожитель

R[0;1].
Функции распределения случайных величин Xi (i=1,2. n) имеют вид:
Fi(x) = <0, x 1.

F(x) = P(X 1, то F(x) = 1*1*. *1 = 1.

Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = <0, x 1

Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = <0, x 1

RKI

Долгожитель

ПРИМЕР 557
X1, X2, . Xn — независимые случайные величины, каждая из которых имеет плотность распределения
f(x) = Fi(x) = int_<-бесконечность>^ fi(t)dt =
= int_<-бесконечность>^ <0>fi(t)dt + int_<0>^ <1>fi(t)dt +
+ int_<1>^ <+бесконечность>fi(t)dt =
= int_<-бесконечность>^ <0>0*dt + int_<0>^ <1>2tdt +
+ int_<1>^ <+бесконечность>0*dt =
= 0 + (t^2) |_<0>^ <1>+ 0 = 1.

F(x) = P(X = x) = 1 — P(min >= x) =
= 1 — P(X1 >= x, X2 >= x, . Xn >= x) =
= [случайные величины X1, X2, . Xn являются независимыми] =
= 1 — P(X1 >= x)*P(X2 >= x)*. *P(Xn >= x) =
= 1 — [1 — P(X1 1, то F(x) = 1 — (1-1)(1-1). (1-1) = 1 — 0 = 1.

Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = <0, x 1

Плотность распределения случайной величины X имет вид:
f(x) = <0, x 1

RKI

Долгожитель

ПРИМЕР 558
Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1;3], а случайная величина Y распределена равномерно на отрезке [2;6]. Случайные величины X и Y являются независимыми. Найти плотность распределения случайной величины Z = X+Y.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [1;3]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = <1/2, 1 = 9, то есть x-2 >= 7, x-6 >= 3, то
p(x) = (1/4)*int_^ 0*dz = 0.

Таким образом, плотность распределения случайной величины Z=X+Y имеет вид:
p(x) = <0, x = 9

(Сообщение отредактировал RKI 25 авг. 2009 9:16)

RKI

Долгожитель

ПРИМЕР 559
Троллейбусы движутся с интервалом 8 мин, поезда метро — с интервалом 2 мин независимо друг от друга. Определить закон суммарного времени ожидания транспорта случайно выбранным пассажиром, пользующимся, чтобы добраться на работу, троллейбусом и метро (без пересадок в метро).
РЕШЕНИЕ.
Пусть случайная величина X — время ожидания троллейбуса. Данная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0;8]. Сделовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = <1/8, 0 = 10, то есть x-2 >= 8, то
p(x) = (1/2)*int_^ 0*dz = 0.

Таким образом, плотность распределения случайной величины Z=X+Y имеет вид:
p(x) = <0, x = 10

(Сообщение отредактировал RKI 25 авг. 2009 9:17)

RKI

Долгожитель

Пусть случайная величина Y распределена по закону Пуассона с параметром m: Y

Это означает, что случайная величина Z=X+Y распределена по закону Пуассона с параметром l+m: Z

RKI

Долгожитель

N(a1, б1). Тогда плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = [1/sqrt(2П)б1]*Exp<-((x-a1)^2)/2(б1)^2>.

Случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами a2 и б2: Y

N(a2, б2). Тогда плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(x) = [1/sqrt(2П)б2]*Exp<-((x-a2)^2)/2(б2)^2>.

Так как случайные величины X и Y являются независимыми, то плотность распределения p(x) случайной величины Z определяется по формуле свертки:

= [v = y — a2; u = x — a1 — a2] =

рассмотрим показатель степени.
((u-v)^2)/(б1)^2 + (v^2)/(б2)^2 =

= (u^2 — 2uv + v^2)/(б1)^2 + (v^2)/(б2)^2 =

= [(sqrt((б1)^2 + (б2)^2))v/(б1)(б2) — u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)]^2 + (u^2)/((б1)^2 + (б2)^2)

= [z = (sqrt((б1)^2 + (б2)^2))v/(б1)(б2) — u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2); dz = (sqrt((б1)^2 + (б2)^2))dv/(б1)(б2)] =

= [a = a1 + a2; б = sqrt((б1)^2 + (б2)^2)] =

p(x) = [1/sqrt(2П)б]*Exp<- ((x - a)^2)/2(б^2)>, где a = a1 + a2, б = sqrt((б1)^2 + (б2)^2).

Это означает, что случайная величина X + Y имеет нормальное распределение с параметрами a = a1 + a2, б = sqrt((б1)^2 + (б2)^2): X + Y

N(a1 + a2; sqrt((б1)^2 + (б2)^2)).

RKI

Долгожитель

N(ai; бi), i = 1,2. n. Найти закон распределения случайной величины X = sum_^ (ci)(Xi), где ci — неслучайные постоянные.
РЕШЕНИЕ.
X = sum_^ (ci)(Xi)

Случайная величина X имееет нормальное распределение с параметрами a и б, где

б^2 = D(X) = D(sum_^ (ci)(Xi)) =
= [случайные величины Xi (i=1,2. n) являются независимыми] =
= sum_^ D((ci)(Xi)) =
= sum_^ ((ci)^2)D(Xi) =
= sum_^ ((ci)^2)((бi)^2) =
= sum_^ ((ci)(бi))^2

Таким образом,
X

(Сообщение отредактировал RKI 25 авг. 2009 11:44)

RKI

Долгожитель

Пусть случайная величина Y — масса банки. Случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами 50 г и 6 г: Y

Случайная величина Z имеет также нормальное распределение с параметрами:
a = a1 + a2 = 500 + 50 = 550
б = sqrt((б1)^2 + (б2)^2) = sqrt(64 + 36) = sqrt(100) = 10.

P(Z Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 25 авг. 2009 13:33 | IP

Найти закон распределения случайной величины y

Если каждому возможному значению случайной величины Х соот-

ветствует единственное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х и записывают Y=ϕ(X). При этом функция y=ϕ(x) является обычной числовой функцией, определенной на

множестве возможных значений случайной величины Х.

Если Х — дискретная случайная величина и функция Y=ϕ(X) моно-

тонна, то различным значениям Х соответствуют различные значения Y,

вычисляемые по формуле

а вероятности принятия соответствующих значений:

Если же Y=ϕ(X) — немонотонная функция, то различным значениям

Х могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для оты-

скания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятно- сти тех возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.

Если Х — непрерывная случайная величина c плотностью распреде-

— дифференцируема и строго монотонна, то

плотность распределения формуле

случайной величины Y находится по

x =ψ ( y) — функция, обратная к y= ϕ(x).

Если функция Y=ϕ(X) немонотонна в интервале возможных значе-

ний Х, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция ϕ(x) монотонна, а затем представить плотность g(y) в виде сум-

k

g ( y) =  f (ψ i ( y))ψ ‘i ( y) ,

где k — число интервалов монотонности,

x =ψ i ( y) — функция, обратная к

y= ϕ (х) на i-ом интервале монотонности (i=1,2. k).

Известно, что если Х — дискретная случайная величина с рядом рас-

то математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y= ϕ(X)

находятся соответственно по формулам

M [ϕ ( X )] = ϕ ( xi ) pi ,

Если же Х — непрерывная случайная величина c плотностью распре-

деления f(x), то математическое ожидание и дисперсия Y= ϕ (X) находит-

ся соответственно по формулам

f ( x)dx − (M [ϕ ( X )]2

Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана законом рас-

Найти закон распределения случайной величины Y= 3X.

Решение. По формуле (10.1) находим возможные значения случайной величины Y=3X. Получаем:

y1 = 3×1 = 3 ⋅1 = 3;

y2 = 3×2 = 3 ⋅ 3 = 9;

Так как функция y = 3x монотонна, то вероятности, с которыми Y принимает свои значения: 3, 9, 15, равны вероятностям, с которыми Х принимает свои значения: 1, 3, 5 соответственно. Значит,

Выписываем закон распределения для Y.

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана законом рас-

Найти закон распределения случайной величины Y = X 2 .

Решение. Найдем возможные значения случайной величины Y:

Итак, различным значениям случайной величины Х соответствуют одинаковые значения случайной величины Y. Найдем вероятности воз- можных значений случайной величины Y.

P(Y=1) = P(X= -1) + P(X=1) = 0,3 + 0,2 = 0,5; P(Y=4) = P(X= -2) + P(X=2) = 0,1 + 0,4 = 0,5.

Запишем искомый закон распределения величины Y:

Пример 3. Случайная величина Х распределена равномерно в ин-

тервале (3; 5). Найти закон распределения случайной величины

Решение. Выписываем плотность распределения случайной величи-

Далее используем формулу (10.2). Так как y=2x+8, то x=(y+8)/2. Значит,

и формула (10.2) в нашем случае примет

Условие: (y+8)/2 ∈ (3; 5) равносильно условию: y∈(-2; 2). Значит, с учетом формулы (10.8) f((y+8)/2)= 0,5 при y∈(-2; 2), f((y+8)/2)= 0 при y∉(-2; 2), и формула (10.9) примет вид: g(y)= 1/4 при y∈(-2; 2), g(y)= 0 при y∉(-2; 2).

Ответ: g(y)= 1/4 при y∈(-2; 2), g(y)= 0 при y∉(-2; 2).

Пример 4. Случайная величина Х распределена равномерно в ин-

Найти плотность распределения случайной величины

Решение. Выписываем плотность распределения случайной величи-

найдем обратную функцию х= ψ (y). Так как в ин-

тервале (0; 2 π ) функция

не монотонна, разобьем этот интер-

вал на интервалы (0; π ) и ( π ; 2 π ), в которых функция

y = cos x монотонна. В интервале (0; π ) обратная функция имеет

ψ1 ( y) = arccos y , в интервале ( π ; 2 π ) ψ 2 ( y) = 2π

Искомая плотность распределения g(y) в соответствии с (10.3) на-

ходится по формуле

f (ψ1 ( y)) |ψ ‘1 ( y) | + f (ψ 2 ( y)) |ψ ‘2 ( y) | .

1 − y 2

|ψ ‘1 ( y) |=|ψ ‘2 ( y) |= 1/

Условия:

ψ 2 (y) ∈ ( π ;2 π ) равносильны условию

y∈(-1; 1). Подставляем все данные в формулу (10.10), получаем для

0,5 +

0,5 =

1 − y 2 π

1 − y 2

Если же y∉ (-1; 1), то

π

1 − y 2

Пример 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = X 2 − 3, если Х имеет закон распределения

Найти закон распределения случайной величины y

Задача. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти: Р₂; функцию распределения F(х) и построить ее график; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти закон распределения случайной величины Y, где Y = 2X, Y = X 2 .

1) Определим Р₂. Так как сумма всех вероятностей, указанных в таблице, должна быть равна единице (то есть Р₁ + Р₂ + Р₃ = 1), то Р₂ найдем из формулы:

2) Построим функцию распределения

а) Рассмотрим первый интервал х 8:
Запишем закон распределения:

3) Построим график функции распределения:

4) Определим математическое ожидание данной случайной величины Х (математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины при большом числе испытаний):

5) Определим дисперсию для данной случайной величины по формуле (дисперсия характеризует средний квадрат отклонения случайной величины от среднего):

6) Определим среднеквадратическое отклонение, которое характеризует среднее отклонение случайной величины от среднего, по формуле:

7) Составим закон распределения для функций Y = 2X и Y = X 2

Найти закон распределения случайной величины y

Найти закон распределения случайной величины Y=X 2 , математическое ожидание M(Y), D(Y) и σ(Y).

Решение.Найдем возможные значения Y:

Найдем вероятности возможных значений

Следовательно, закон распределения величины Y имеет вид

Пример 2. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=x+0,5 в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) плотность распределения функции Y=X 2 ; б) математическое ожидание M(Y); в) дисперсию D(Y).

Решение.а) Так как функция y=x 2 на промежутке (0,1) строго возрастает и имеет обратную, то

б)

Математическое ожидание можно найти другим способом:

.

в) ,.

3. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y=φ(X)=X 2 (не находя предварительно плотности распределения Y).

4. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x) =0. Найти дисперсию функции Y = φ(Х)=Х2, не находя предварительно плотности распределения Y. Для решения используем формулу

и то, что .

5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: