Советник

Юридические услуги по корпоративному праву

Правила нахождения производных функции

Содержание:

Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

Правило 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

где c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

Правило 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

Правило 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

,

Определение . Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

Правило 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле

Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое uv , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций».

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 7. Найти производную функции

.

Пример 8. Найти производную функции

.

Продолжаем искать производные вместе

Пример 9. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

.

Пример 10. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 11. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 12.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя — это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного — в статьях «Производная произведения и частного функций» и «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Урок «Правила вычисления производных»

Разделы: Математика

  1. Повторить темы: “Производная степенной функции”, “Производные некоторых элементарных функций”, “Правила дифференцирования”. Отработать навыки техники дифференцирования функции.
  2. Ознакомление учащихся с некоторыми историческими сведениями
  3. Навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности; сообразительность, стремление к преодолению трудностей; интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, обобщение).
  4. Воспитание культуры общения, ответственности.

Тип урока: обобщающий.

Оборудование: Интерактивная доска, раздаточный материал.

“Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле”.
А.Н. Крылов.

І. Организационный момент (учитель сообщает цель урока).

ІІ. Устная работа: повторяем правила нахождения производных.

Найти производную данной функции.

У = кх + в
У = х р
У = (кх + в) n
У = е х
У = а х
У =
У = sinx
У = cos x
У= ln x
У = tgx

2. Найдите производные функции:

а) f(х) = х 9
б) f(х) = х 5 + х 2
в) f(х) = х 3 – х
г) f(х) = sinх + 43
д) f(х) = 14cosх
е) f(х)= е х +х

3. Назовите функцию, которая имеет данную производную:

4. Завершите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание: “Значение производной функции в точке х …”

Ответы:
а) показывает ускорение изменения функции,
б) всегда равно 0,
в) показывает скорость изменения функции.

5. Найдите скорость изменения функции g(х) = 3cosх в точке х0 =

6. Сравните скорость изменения функций:

f(х) = sinх и g(х) = cosх в точке

7. Найдите значение производной функции а) f(х) = 4sinх + 13cosх в точке х0 = π

ІІІ. На интерактивной доске изображены графики производных некоторых функций.

Поставьте в соответствие: “Функция – график производной этой функции”

А) у = 2х 2 – 4х,
Б) у = х 3 + 2х,
В) у = 5х + 16
Г) у = 10
Д) у = х 4 + 1

4. Задания для учащихся по вариантам:

В-1. Расшифруйте, как И.Ньютон называл производную функции:

Заполнить таблицу, поставив каждому числу в соответствие букву:

Урок-зачет по теме «Правила вычисления производных». 10-й класс

Разделы: Математика

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим провожу нестандартные уроки, которые активизируют мысль учеников, стимулируют их к самостоятельному приобретению знаний.

Данный нестандартный урок-зачет по алгебре в 10 классе с использованием технологии деловых игр и информационно-коммуникационных технологий позволит повысить интерес учеников к математике.

Урок развивает навыки нахождения производной функции и нахождение самой функции по ее производной.

На этом уроке создаются оптимальные условия для самовыражения, самореализации и самоопределения учащихся в различных видах познавательной и творческой деятельности, кроме того, такой урок служат хорошим средством разрядки и удачным способом переключения с одного вида работы на другой.

Нестандартные уроки положительно воздействуют на эмоциональную сферу учащихся и служат хорошей подготовкой к ЕГЭ.

Урок прошел быстро, эффективно и на хорошем эмоциональном уровне. Цели, поставленные в начале урока, были достигнуты.

Цели урока:

  • Обучающие: закрепить и проверитьзнания, умения, навыки учащихся по теме «Формулы и правила дифференцирования».
  • Развивающие: развивать мыслительную деятельность учащихся, способность самооценки и взаимооценки; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.
  • Воспитательные: воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, воспитывать уважение к предмету.

Оборудование: мультимедийный проектор, персональный компьютер, магнитная доска, раздаточный материал, доска с заданиями.

План урока.

1. Разминка: «Проверь себя и своего соседа»
2. Биржа знаний.
3. Математическое поле чудес.
4. Умеешь ли ты находить функцию по ее производной?

1. Разминка: «Проверь себя и своего соседа»

Ученикам предложено на карточках найти производные функций

После выполнения работы ученики обменивается тетрадями с соседом по парте. Решения с правильными ответами проектируются на экран.

Критерий выставления оценок записан на доске:

все правильно – «5»
1-2 ошибки – «4»
3-4 ошибки – «3»
В остальных случаях – «2»

2. Биржа знаний

Сейчас мы с вами отправляемся на биржу. Биржа – это рынокнеобычный: здесьможно приобрести не продукты и овощи, а ценные бумаги – акции. Наша «Биржа» – интеллектуальная: мы «покупаем» акции (примеры) и обмениваем свои знания на баллы.
Вы можете дополнительно заработать баллы, внимательно следя за ответом товарища.

3. Математическое поле чудес

Каждый ученик получает задание. Решив его, выходит к доске, отыскивает букву соответствующую его ответу, и записывает напротив своего примера. В итоге должна получиться загадка, которую нужно разгадать.
В результате этой работы каждый ученик может оценить сам себя, если он решил пример правильно, то слово получилось. Если буква не вписывается в слово, значит, пример решен не верно.

Карточки с индивидуальными заданиями:

1. Решите уравнение f(x) = 0, если

  1. f(x) = 2x 2 – x
  2. f(x) = 2x – 5x 2
  3. f(x) = x 3 /3 – 1,5x 2 – 4x
  4. f(x) = 3x 3 – 2x
  5. f(x) = x 2 – 6x
  6. f(x) = 1/2x 2 – 3x
  7. f(x) = 1/6x 3 – 1,5x 2 + 4,5x
  8. f(x) = – 2/3x 3 + x 2 – 12
  9. f(x) = x 4 – x 8
  10. f(x) = 1/2x 2 – 1/4x 4

2. Решите неравенство f(x)> 2

  • f(x) = x3 + 1,5x 2
  • f(x) = 4x – 1/3x 3
  • Правила вычисления производных

    • Материалы к уроку
    • Скачать все правила

    Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x :

    Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f ( x ) = x 2 + (2 x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

    Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

    Производные элементарных функций

    Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

    Итак, производные элементарных функций:

    Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

    В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

    (2 x 3 )’ = 2 · ( x 3 )’ = 2 · 3 x 2 = 6 x 2 .

    Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

    Производная суммы и разности

    Пусть даны функции f ( x ) и g ( x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

    Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, ( f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.

    Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 2 + sin x; g ( x ) = x 4 + 2 x 2 − 3.

    Функция f ( x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

    f ’( x ) = ( x 2 + sin x )’ = ( x 2 )’ + (sin x )’ = 2 x + cos x;

    Аналогично рассуждаем для функции g ( x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

    g ’( x ) = ( x 4 + 2 x 2 − 3)’ = ( x 4 + 2 x 2 + (−3))’ = ( x 4 )’ + (2 x 2 )’ + (−3)’ = 4 x 3 + 4 x + 0 = 4 x · ( x 2 + 1).

    Ответ:
    f ’( x ) = 2 x + cos x;
    g ’( x ) = 4 x · ( x 2 + 1).

    Производная произведения

    Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike «>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

    ( f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’

    Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 3 · cos x; g ( x ) = ( x 2 + 7 x − 7) · e x .

    Функция f ( x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

    f ’( x ) = ( x 3 · cos x )’ = ( x 3 )’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3 x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )

    У функции g ( x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g ( x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

    g ’( x ) = (( x 2 + 7 x − 7) · e x )’ = ( x 2 + 7 x − 7)’ · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · ( e x )’ = (2 x + 7) · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7 x −7) = ( x 2 + 9 x ) · e x = x ( x + 9) · e x .

    Ответ:
    f ’( x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x );
    g ’( x ) = x ( x + 9) · e x .

    Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

    Производная частного

    Если есть две функции f ( x ) и g ( x ), причем g ( x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h ( x ) = f ( x )/ g ( x ). Для такой функции тоже можно найти производную:

    Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

    Задача. Найти производные функций:

    В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:


    По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

    Производная сложной функции

    Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f ( x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f ( x ) = sin ( x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

    Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’, если x заменяется на t ( x ).

    Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = e 2 x + 3 ; g ( x ) = sin ( x 2 + ln x )

    Заметим, что если в функции f ( x ) вместо выражения 2 x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f ( x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2 x + 3 = t , f ( x ) = f ( t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( e t )’ · t ’ = e t · t ’

    А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2 x + 3. Получим:

    f ’( x ) = e t · t ’ = e 2 x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2 x + 3 · 2 = 2 · e 2 x + 3

    Теперь разберемся с функцией g ( x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:

    g ’( x ) = g ’( t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’

    Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:

    g ’( x ) = cos ( x 2 + ln x ) · ( x 2 + ln x )’ = cos ( x 2 + ln x ) · (2 x + 1/ x ).

    Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

    Ответ:
    f ’( x ) = 2 · e 2 x + 3 ;
    g ’( x ) = (2 x + 1/ x ) · cos ( x 2 + ln x ).

    Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

    Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

    ( x n )’ = n · x n − 1

    Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

    Задача. Найти производную функции:

    Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

    f ( x ) = ( x 2 + 8 x − 7) 0,5 .

    Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8 x − 7 = t . Находим производную по формуле:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( t 0,5 )’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.

    Делаем обратную замену: t = x 2 + 8 x − 7. Имеем:

    f ’( x ) = 0,5 · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 · ( x 2 + 8 x − 7)’ = 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 .

    Это интересно:

    • По законам божим 10 Заповедей Закона Божьего. Толкование Заповедей. Грехи против 10 Заповедей 1. Аз есмь Господь Бог Твой: да не будут Тебе бози инии, разве Мене. 2. Не сотвори себе кумира и всякаго подобия, елика на небеси горе, и елика на земли низу, и елика в водах под землею: да не поклонишися им, […]
    • Штраф за нарушение режима пребывания Административное наказание за нарушение мигрантами правил въезда и пребывания в РФ хотят ужесточить На рассмотрение Госдумы сегодня внесен законопроект, увеличивающий размер административного штрафа за нарушение иностранными гражданами или лицами без гражданства правил въезда или режима […]
    • Список литературы арбитраж Список литературы арбитраж Один @ втор.ru Самара 8-927-902-39-25 Дипломные, курсовые, контрольные работы на заказ в Самаре [email protected] Список литературы по арбитражному процессу На этой странице приведен список литературы по арбитражному процессу: 1. Арбитражный […]
    • Претензия к исполнителю Автор: Соколова Ирина Евгеньевна, руководитель аналитического управления Объединения потребителей России Часто случается, что у потребителя возникают претензии к качеству приобретенного товара (к качеству выполненной работы), а продавец (или исполнитель, выполнивший работу) […]
    • Правила огневые работы Дистанционная подготовка и тестирование по охране труда Правила дистанционного обучения по охране труда Регистрационный лист – заявка на дистанционное обучение по охране труда Учебные материалы для обучения по охране труда Тема 0. Основные положения трудового права Тема 1. Правовое […]
    • Заявление на перевыпуск карт Перевыпуск карты Сбербанка Имея карточку, срок действия которой завершен или подходит к концу, необходимо произвести процедуру замены. Перевыпуск карты Сбербанка происходит по определенной процедуре и имеет ряд особенностей для некоторых ситуаций. Для каких ситуаций предусмотрен […]
    • Все правила вольной борьбы Правила вольной борьбы Поединок в вольной борьбе проводится на борцовском ковре, который представляет собой квадратный мат с виниловым покрытием со стороной 12 метров. Минимальная толщина ковра должна составлять 4 сантиметра. Так называемая «область состязаний», в которой […]
    • Правило решения логарифмических неравенств Логарифмические неравенства При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции y=logax, a > 0, a 1: 1) Область определения: x > 0; 2) Область значений: yR; 3) logax1=logax2x1=x2; 4) При a>1 функция y=logax […]
    Все права защищены. 2018