Правило кратности

Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядную единицу

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными .

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24 : 4 = 6);
103 456 (56 : 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; 10 720.

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18 : 9 = 2).

Признак делимости чисел на 10

На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30; 980; 1 200; 1 570.

Признак делимости чисел на 11

На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22 : 11 = 2).

Признак делимости чисел на 25

На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 ( 50 : 25 = 2);

1 475 (75 : 25 = 3).

Признак делимости чисел на разрядную единицу

На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

Правило кратности

В последнем разделе мы узнали, как упростить задачи на деление, если числитель и знаменатель поделить на общий множитель. В завершение этой главы обсудим, как определить, является ли одно число делителем другого. Это поможет упростить задачу на деление и ускорить процесс решения многих задач на умножение, а также пригодится, когда мы доберемся до продвинутого умножения, где часто придется искать способы разложить на множители двух-, трех- или даже пятизначные числа. Умение делать это окажется весьма полезным.

Проверить, делится ли число на 2, довольно просто. Вам нужно только определить, является ли последняя цифра четной. Если это 2, 4, 6, 8 или 0, то число целиком делится на 2.

Чтобы протестировать число на делимость на 4, проверьте, делятся ли на 4 две его последние цифры. Число 57 852 кратно 4, потому что 52 = 13 х 4. Число 69 346 не кратно 4, поскольку 46 не делится на 4 без остатка. Это правило работает потому, что 4 делит 100 и, следовательно, любое число, кратное 100.

Таким образом, поскольку 57 800 и 52 делятся на 4, то 4 поделит и их сумму, то есть 57 852.

Аналогично, так как 1000 делится на 8, для проверки кратности 8 достаточно выяснить, делятся ли на 8 последние три цифры числа. Например, для 14 918 надо проверить число 918 на делимость на 8. Однако при делении 918 на 8 имеем остаток (918 : 8 = 114 6/8), из чего делаем вывод, что число 14 918 на 8 не делится. Можно также заметить, что 18 (две последние цифры числа 14 918) не делится на 4, а так как 14 918 не делится на 4, оно не может делиться и на 8.

Когда дело доходит до делимости на 3, предлагаю запомнить одно простое правило: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр делится на 3 (независимо от того, сколько цифр в числе). Чтобы выяснить, делится ли 57 852 на 3, просто сложите 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Так как 27 кратно 3, то и 57 852 будет кратно 3. Столь же удивительное правило справедливо и для делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр кратна 9. Поэтому 57 852 кратно 9, тогда как число 31 416, сумма цифр которого равна 15, на 9 не делится. Объясняется это правило тем, что числа 1, 10, 100, 1000, 10000 и т. д. всегда на единицу больше кратного 9.

Число делится на 6 только в том случае, если оно четное и делится на 3. Так что кратность 6 легко проверить.

Установить, делится ли число на 5, еще проще. Любое число, независимо от величины, кратно 5 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 или 0.

Выяснить делимость на 11 почти так же просто, как на 3 или на 9. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда в результате попеременного вычитания и сложения составляющих его цифр вы получите либо 0, либо кратное 11.

Например, 73 958 не делится на 11, потому что 7–3 + 9–5 + 8 = 16. Однако числа 8 492 и 73 194 кратны 11, так как 8–4 + 9–2 = 11 и 7–3 + 1–9 + 4 = 0. Это правило работает потому, что числа 1, 100, 10 000, 1 000 000 на единицу больше кратного 11, в то время как числа 10, 1000, 100 000 и т. д. на единицу меньше величины, кратной 11.

Проверка делимости на 7 несколько сложнее. Если вы прибавите (или вычтите) число, кратное 7, к проверяемому (или из проверяемого) и полученный результат будет делиться на 7, ответ положительный. Я всегда выбираю такое прибавляемое или вычитаемое кратное 7, чтобы в итоге сумма или разность заканчивалась на 0. Например, для проверки числа 5292 я вычитаю 42 (кратное 7), чтобы получить 5250.

Далее избавляюсь от 0 на конце (так как деление на десять не влияет на проверку делимости на семь), получая в итоге 525. Затем повторяю процесс, прибавляя 35 (кратное 7), что дает мне 560. Когда я удалю 0, то останусь с числом 56, которое, как мне известно, кратно 7. Таким образом, исходное число 5292 делится на 7.

Этот метод работает не только для 7, но и для любого нечетного числа, кроме оканчивающегося на 5. Например, чтобы проверить, делится ли 8792 на 13, вычитаем 4 х 13 = 52 из 8792 и получаем 8740. Опуская 0, имеем 874. Затем прибавляем 2 х 13 = 26, выходит 900. Удаление двух нулей оставляет нас с числом 9, которое, очевидно, не кратно 13. Таким образом, 8792 не делится на 13.

УПРАЖНЕНИЕ: ПРОВЕРКА НА ДЕЛИМОСТЬ

В этом упражнении будьте особенно внимательны при проверке делимости на 7 и 17. Остальное не должно представлять для вас трудностей.

Признаки делимости

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:

3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное

число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,

это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр:

3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.

Но это число не делится на 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …

А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!

Правило кратности

Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:

Признак делимости на 2 n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5 n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Признак делимости на 10 n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

3. Признаки делимости на 9 и на 3. Правила

Натуральное число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр
кратна трем.

Число 762 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр:
7 + 6 + 2 = 15 — кратна 3 ( 15 : 3 = 5 ).

Число 4587 делится на 3 без остатка, так как сумма его цифр:
4 + 5 + 8 + 7 = 24 — кратна 3 ( 24 : 3 = 8 ).

Число 3572 не кратно 3, так как сумма его цифр:
3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 3 без остатка ( 17 : 3 = 5

Признак делимости на 9 такой же, как и на 3. Натуральное число
делится на 9 без остатка, если сумма его цифр кратна девяти.

Число 765 делится на 9 без остатка, так как сумма его цифр:
7 + 6 + 5 = 18 — кратна 9 ( 18 : 9 = 2 ).

Число 4698 кратно 9, так как сумма его цифр:
4 + 6 + 9 + 8 = 27 — делится на 9 без остатка ( 27 : 9 = 3 ).

Число 3572 не кратно 9, так как сумма его цифр:
3 + 5 + 7 + 2 = 17 — не делится на 9 без остатка ( 17 : 9 = 1

Задачи на тему «Признаки делимости на 9 и на 3»

Руководствуясь признаками делимости на 9 и на 3, выберите число,

которое делится на 3 без остатка.

1) 462 2) 346 3) 721 Неверно. Не кликай на пустое поле. кратное девяти.

1) 468 2) 128 3) 296 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. которое делится на 9 без остатка.

1) 543 2) 736 3) 342 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. кратное трем.

1) 561 2) 427 3) 832 Неверно. Не кликай на пустое поле. которое делится на 3 без остатка.

1) 914 2) 923 3) 915 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. которое делится на 9 без остатка.

1) 233 2) 2385 3) 5632 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное девяти.

1) 6245 2) 5454 3) 9812 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное трем.

1) 3514 2) 4178 3) 7800 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. кратное трем.

1) 56000 2) 57300 3) 57200 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

Руководствуясь признаками делимости на 9 и на 3, выберите число,

кратное девяти. 1) 7349 2) 9945 3) 5624 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное трем. 1) 2745 2) 5267 3) 7385 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. кратное девяти. 1) 9346 2) 7528 3) 8343 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. кратное трем. 1) 3245 2) 4368 3) 7295 Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. кратное девяти. 1) 7236 2) 3925 3) 5729 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. кратное трем. 1) 3812 2) 8235 3) 5419 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.

Это интересно:

  • Транспортный налог и его характеристика Транспортный налог общая характеристика и особенности исчисления и взимания с физических лиц Главная > Курсовая работа >Финансы Федеральное агентство по образованию Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "БайкальскИЙ государственнЫЙ […]
  • Департамент транспорта красноярска жалобы Жалоба в департамент транспорта г.Красноярска Дата публикации в будущем, т.к. уже существует запись за сегодня. Направил официальную жалобу в городской департамент транспорта, заебали ибо. Хочу обратить внимание на из рук вон плохо организованный приём сообщений и жалоб от граждан в […]
  • Нужно ли заявление при приеме на работу Заявление о приеме на работу – образец Заявление о приеме на работу – это документ, который составляется соискателем с просьбой о приеме на работу. Заявление не имеет юридической ценности, однако используется в большинстве организаций, поэтому важно знать, как правильно его составить. В […]
  • Ук рф 2018 ст 222 Статья 222. Незаконные приобретение, передача, сбыт, хранение, перевозка или ношение оружия, его основных частей, боеприпасов СТ 222 УК РФ. 1. Незаконные приобретение, передача, сбыт, хранение, перевозка или ношение огнестрельного оружия, его основных частей, боеприпасов (за исключением […]
  • Субсидия госслужащим закон Субсидии госслужащим на приобретение жилья в 2018 году Государственные служащие относятся к разряду граждан, которые функциональные обязанности которых лежат в сфере обеспечения нужд государства. В связи с этим они имеют право на получение помощи на приобретение благоустроенного жилья […]
  • Что выше федеральный закон или гражданский кодекс Что выше федеральный закон или гражданский кодекс Посмотри Определение КС РФ от 03.02.2000 ?22-О От кого: Alex-Kor Дата: 01-06-2006 10:28 КС подтвердил непротиворечивость Конституции приоритет Кодексов. Что вы хотели сказать, не пойму. Сформулируйте предложение яснее. Алекс-Кор […]
  • Ч1 ст 286 ук рф наказание Статья 286. Превышение должностных полномочий 1. Совершение должностным лицом действий, явно выходящих за пределы его полномочий и повлекших существенное нарушение прав и законных интересов граждан или организаций либо охраняемых законом интересов общества или государства, — наказывается […]
  • Экологические преступления 2014 Проблемы экологической преступности Гришаева И.Г. к.б.н., доцент при Президенте Российской Федерации, Воронежский филиал В современных условиях разрушительной антропогенной деятельности, приводящей к гибели естественных экосистем, как суши, так и водных, проблема экологической […]

Author: admin