Советник

Юридические услуги по корпоративному праву

Правило решения логарифмических неравенств

Содержание:

Логарифмические неравенства

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

y=logax, a > 0, a 1:

1) Область определения: x > 0;

2) Область значений: yR;

3) logax1=logax2x1=x2;

4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 0, т.е.

a >1 и logax1>logax2x1>x2,
0 logax2x1

Задачи и тесты по теме «Логарифмические неравенства»

  • Логарифмические неравенства — Показательная и логарифмическая функции 11 класс

Рекомендации к теме

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции. При решении логарифмических неравенств, нахождение области допустимых значений (О.Д.З.) заданного неравенства в большинстве случаев является нецелесообразным. Обычно условия, задающие О.Д.З. неравенства, подключают к тому неравенству, которое является следствием заданного неравенства, и решают затем полученную систему.

Можно также использовать метод интервалов.

Функция y=log2t возрастающая, следовательно, 0 2 – 3х – 10≥ 0 решим методом интервалов

Ответ: [5; +).

Линейные неравенства. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Линейными неравенствами называются неравенства вида:

где и – любые числа, причем ; — неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак «> на знак , и наоборот; знак на знак , и наоборот).

Раз уж ты оказался на этой теме, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения». Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение. Без усвоенной темы «Линейные уравнения» спокойное плавание в «Линейных неравенствах» не гарантировано.

Итак, надеюсь, ты уже знаком с линейными уравнениями, поэтому можно смело покорять неравенства!

Что такое «линейные неравенства»?

Если ты ознакомился с линейными уравнениями, то уже знаком с Васей, который раздавал яблоки своим друзьям. Давай вернемся к примеру с Васей (может, и нам что-то перепадет?).

Так вот, предположим, что у Васи больше, чем яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?

Если обозначить через количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:

Дальше мы делим обе части составленного неравенства на и получаем:

Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем яблока.

Ну вот и справились с неравенством!

Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где и – любые числа, причем ; — неизвестная переменная.

Все приведенные выше неравенства являются линейными. Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.

Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы «Линейные уравнения. Начальный уровень.». Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».

Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.

Правила преобразования неравенств

Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения. Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство. Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.

В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.

7\text< >\Rightarrow 3x>7+4\Rightarrow 3x>11″>

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что 7″> равносильно 11″> .

Или вот такой пример:

В теме «Линейные уравнения» говорилось, что для удобства принято переносить слагаемые с переменной в левую часть, а остальные в правую – так и поступим:

Здесь все должно быть понятно, перейдем к следующему правилу.

Вернемся к нашим двум предыдущим примерам.

В первом примере мы остановились на 11″> . Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число :

Заметил, знак неравенства как был «больше», так и сохранился? Все это потому, что мы делили на положительное число.

Давай закрепим на втором примере, где мы остановились на . Разделим обе части неравенства на :

Делили на положительное число , поэтому знак неравенства сохранился.

Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства сохраняется? А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» должно прояснить правило 3.

Заметил важное отличие от правила 2? Все верно:

  • При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется
  • При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

Делим на отрицательное число , тогда знак неравенства меняется на противоположный:

Заметил, знак (меньше) заменили на знак «> (больше)?

Или вот такой пример:

Делим обе части на отрицательное число , меняя при этом знак неравенства на противоположный:

Усвоил? Тогда давай закреплять на примерах

Не пугайся, что примеры, на первый взгляд, сложней, чем мы с тобой разбирали. Мы ведь знаем все необходимые правила преобразования линейных неравенств, а значит, не пропадем.

Ну что, приступим? Как-никак, это не Эверест покорять.

Раскроем для начала скобки и приведем подобные слагаемые:

А теперь можем применять наши правила преобразования линейных неравенств:

Ну вот, мы почти решили наше неравенство – осталось записать ответ в виде промежутка. Неравенство у нас нестрогое, поэтому число включается в наш промежуток. Для наглядности изображу решения на оси:

Запишем ответ: .

Все, как в первом примере: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, осуществляем необходимые преобразования:

Неравенство у нас нестрогое, поэтому число включается в наш промежуток:

Ответ:

3.
Думаешь это не линейное неравенство? А что мы говорили в теме Линейные уравнений об их «скрытности»? Поспешных выводов делать не стоит, давай лучше проведем все возможные преобразования и убедимся, что это линейное неравенство, либо докажем обратное.

Сейчас будем делить обе части неравенства на отрицательное число . Что же тогда произойдет со знаком неравенства? Все верно – он поменяется на противоположный!

Неравенство нестрогое, значит, включается в наш промежуток.

Ответ:

Проводим соответствующие преобразования:

Делим обе части на отрицательное число , не забывая поменять знак неравенства на противоположный:

Неравенство нестрогое, поэтому — не включается в промежуток:

Ответ:

Этот пример проще, поэтому сразу запишу ход решения без комментариев:

Ответ:

Линейные неравенства с двумя переменными

В теме Линейные уравнения достаточно подробно разобрано понятие линейного уравнения с двумя переменными. Линейное неравенство представляет собой практически то же самое, только знак равенства меняется на знак неравенства , .

Линейные неравенства с двумя переменными имеют вид:

где , и – любые числа, .

А вся разница с линейным неравенством с одной переменной только в том, что в неравенство добавляется еще одна переменная .

Решением неравенства с двумя переменными называется множество пар чисел , которые удовлетворяют этому неравенству (т.е. при подстановке этих точек неравенство верно).

Для решения линейных неравенств с двумя переменными, используется графический способ.

Давай разберем вот такой пример:

Решение:

Как уже упоминалось, решается такое неравенство графически.

Построим график уравнения . Как ты уже должен был знать из темы «Линейные уравнения», графиком будет прямая.

Строим график по двум точкам, через которые проходит прямая, к примеру, и . Вот, что у меня получилось:

Так как неравенство в этом примере у нас строгое, то координаты точек самого графика прямой не будут являться решением исходного неравенства. Поэтому обозначим линию пунктиром на графике:

Как можно заметить, прямая разбила плоскость на две полуплоскости. Все точки одной из полуплоскостей будут являться решением исходного неравенства.

Так как в исходном неравенстве у нас стоит знак «> , то мы должны выбрать те точки, которые лежат выше графика прямой. Изобразим все решения неравенства на графике:

Все решения «затушеваны» голубым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты и любой точки из закрашенной области – решения неравенства.

Комментарии

Спасибо. всё чётко и ясно

Пожалуйста, Тамара. Мы рады, что тебе понра. 🙂

А есть примеры с квадратными уравнениями? С нахождением дискриминанта ну короче говоря где получается два корня?

Привет, Андрей. Вот раздел «квадратные уравнения»: https://youclever.org/book/kvadratnye-uravneniya-1, если ты об этом. Там вверху переключатель уровней сложности. По этой теме три уровня.

Вообще, если зайти на главную страницу сайта youclever.org, то можно увидеть оглавление по всей математике. Любую тему. Это наш учебник «От чайника до монстра» с 8 по 11 класс для разного уровня подготовки. Там есть примеры.

Объясните, пожалуйста, что значит «лежат выше графика прямой»

Инна, привет! Это те точки на плоскости, которые закрашены. Они лежат выше графика прямой, проходящей через точки В и С.

2x←(-4) знак тоже поменяется?

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Логарифмы. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Логарифм – это в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

1. ОДЗ – область допустимых значений переменных.

2. Основное логарифмическое тождество.

Определение логарифма в общем виде:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

это степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

3. Логарифмические формулы.

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Начнем с простого. Как решить уравнение ?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).

Следующий вопрос. Как решить уравнение ?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число , чтобы получить число ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится… Почему не получится?

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать? Вот для того, чтобы с такими числами было удобно работать и ввели понятие логарифма.

В нашем случае решение уравнения можно записать как или как .

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение можно также записать в виде . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

Теперь более общая запись:

Читается так: «Логарифм по основанию от равен », и означает: «Чтобы получить число , нужно число возвести в степень »:

Иными словами, – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .

Примеры вычисления логарифмов

  1. , так как число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить .
  2. Чему равен ? Заметим, что , тогда , то есть нужно возвести в степень , чтобы получить .
  3. А чему равен ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить как в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: . Значит, .
  4. Еще пример. Чему равен ? В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен .
  5. . В этом случае аргумент равен корню основания: . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): .

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

Десятичные логарифмы

Логарифм по основанию называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно – вместо , например:

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, . Видим, что это число расположено между и , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить , нужно возводить в степень больше , но меньше .

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача части B, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В части C могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так: , или даже так: .

Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

Ответы:

  1. ;
  2. , но никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: ;
  3. ;
  4. . Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому ;
  5. ;
  6. . Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: .

Кстати, ответы типа или можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».

ОДЗ логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться . Почему так?

Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).

При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .

Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

В первую очередь напишем ОДЗ:

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание , чтобы получить аргумент ? Во вторую. То есть:

Казалось бы, меньший корень равен . Но это не так: согласно ОДЗ корень – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: .

Ответ: .

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

Подставим во второе равенство вместо логарифм:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

– это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения .

Решение:

Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»: , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

Пример 3.

Решение:

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

Доказывать здесь нечего, ведь это просто по-другому записанное определение логарифма: в какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Ответ очевиден: в степень .

Пример: Чему равен ?.

Ответ: Повторим еще раз: в какую степень нужно возвести , чтобы получить ? Конечно же .

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: .

Пусть , тогда . Пусть , тогда .

Пример: Найдите значение выражения: .

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
.
Зачем это нужно? Ну например: чему равно ?

Теперь очевидно, что .

Теперь упрости сам:

Задачи:

Ответы:

Свойство 3: Разность логарифмов:

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть , тогда . Имеем:

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

Пример посложнее: . Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить. Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения» справа, и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

Упрости сам.

Примеры

Ответы.

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть , тогда . Имеем: , ч.т.д.

Можно понять это правило так:

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения .

Решение: .

Реши сам:

Примеры:

Ответы:

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Доказательство: Пусть , тогда .

Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Или если степени одинаковые: .

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Доказательство: Пусть , тогда .

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить , получим: , ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения .

Используем свойство логарифмов № 2 – сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

Пример 5.

Найдите значение выражения .

Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:

Пример 6.

Найдите значение выражения .

Решение:

Используем свойство № 7 – перейдем к основанию 2:

Комментарии

Примеры вычисления логарифмов. 4 пример. Совсем ничего не понятно. Какое отношение имеет выражение log2 0,25 к числу 7 и 1?

Анастасия, спасибо, исправил опечатку.

Я получила очень хорошую для меня информацию.

Спасибо, Катерина. Нам очень приятно слышать, что наш учебник полезен.

В 3ем свойстве в примере после доказательства сначала стоит логарифм от корня из 3ех по основанию 2, а потом корень исчезает, поясните, пожалуйста, почему?

Прекрасное объяснение! Просто великолепное! В примере после третьего свойства действительно есть опечатка. знак корня у третьего члена лишний. Есть также потерянный член в конце предпоследней строчки решения пятой задачи третьего свойства. В финальной строчке он нашелся 🙂

Спасибо за предоставленную информацию ,но у меня всё же остался один вопрос — -как решить как решить логарифм который находится в степени и при всём этом складывается с натуральным числом (например 2). Просто не могу понять , что делать с числом ?

Александр, примени свойство степени «произведение степеней с одинаковым основанием»: https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva

В самом начале ошибка, когда вы пишете про log(2,5): «Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь 0,430676558» Это неверно, log(2,5) = 2,3219.

Всем спасибо за отзывы и внимательный разбор задач, ошибки исправил

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Это интересно:

  • Штраф за нарушение режима пребывания Административное наказание за нарушение мигрантами правил въезда и пребывания в РФ хотят ужесточить На рассмотрение Госдумы сегодня внесен законопроект, увеличивающий размер административного штрафа за нарушение иностранными гражданами или лицами без гражданства правил въезда или режима […]
  • Шаблоны по правилам дорожного движения Билеты ПДД ABM 2018 Билеты ПДД категорий «А» «В» «M» и подкатегорий «A1» «B1» для подготовки к экзамену в ГИБДД. Содержание билетов по Правилам дорожного движения полностью соответствует официальным билетам ГИБДД в редакции от 10 апреля 2018 г. Билеты ПДД 2018 онлайн Билеты ПДД по […]
  • Патенты распределенные системы Патенты распределенные системы (21), (22) Заявка: 2006147037/09, 27.12.2006 (24) Дата начала отсчета срока действия патента: 27.12.2006 (43) Дата публикации заявки: 10.07.2008 (46) Опубликовано: 27.08.2009 (56) Список документов, цитированных в отчете опоиске: RU 2231113 С2, 20.06.2004. […]
  • По законам божим 10 Заповедей Закона Божьего. Толкование Заповедей. Грехи против 10 Заповедей 1. Аз есмь Господь Бог Твой: да не будут Тебе бози инии, разве Мене. 2. Не сотвори себе кумира и всякаго подобия, елика на небеси горе, и елика на земли низу, и елика в водах под землею: да не поклонишися им, […]
  • Ч 11 ст 14 закона 255-фз Пособия по новым правилам: есть проблемы? Иван Михайлов, служба Правового консалтинга ГАРАНТ, юрисконсульт Не успели мы привыкнуть к новым правилам расчета больничных, пособий по беременности и родам и по уходу за ребенком, как законодатель приготовил очередные изменения. Пособия по […]
  • Пособие aВбухарова Пособие aВбухарова Результат поиска Доп.точки доступа: Бухарова, Г. Д.Экземпляры всего: 2ЧЗ (2) Свободны: ЧЗ (2) ББК Ш143.24я73 Рубрики: Немецкий языкКл.слова (ненормированные): учебникДескрипторы: ИНОСТРАННЫЕ ЯЗЫКИ Доп.точки доступа: Чайковская, Н. В.; Канакова, И. М. Экземпляры […]
  • Увольнение кейс Как увольнять правильно: кейс нашего куратора о сложном увольнении Когда работаешь с людьми, кроме приятных и интересных задач приходится выполнять и другие, например, увольнять. Если поведение и результаты сотрудника не соответствуют нормам и ценностям компании, если помощь, обратная […]
  • Правила шашек как бьет дамка Все новости Правила игры в шашки В игре участвуют 2 игрока, каждый из них в начале игры имеет по 12 шашек (у каждого игрока комплект шашек своего цвета стандартно белые и черные). Игра ведется на стандартной шахматной доске (8x8) повернутой так, что бы перед игроком играющим белыми в […]
Все права защищены. 2018