Проверка основного закона вращения твёрдого тела на крестообразном маятнике

Лабораторная работа №6 Изучение законов вращательного движения на крестообразном маятнике Обербека

Цель Экспериментальная проверка основного уравнения вращательного движения (второго закона динамики для вращательного движения).

Оборудование: маятник Обербека, набор грузов, секундомер, штангенциркуль, линейка.

Описание экспериментальной установки:

Маятник Обербека состоит из четырех спиц с грузами массойm, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На втулке насажены два шкива различных радиусов D1 и D2 (см. рис. 1).

Втулка и шкивы насажены на общую ось, которая закреплена в подшипниках. поэтому система может свободно вращаться.

Момент инерции системы можно изменить, перемещая грузы вдоль спиц.

На один из шкивов маятника навита тонкая нить, привязанная к ней легкая платформа известной массы, служит для размещения грузов.

Если на платформу поместить груз, то система выходит из положения равновесия и начинает вращаться.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс п материальных точек на квадраты их расстояний r до рассматриваемой оси:

(1)

Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу: (2)

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J0’0’ относительно любой оси 0’0’ вращения равен сумме момента его инерции Joo, относительно параллельной оси 00, проходящей через центр масс тела и произведению массы тела на квадрат расстояния R между осями 0’0’ и 00 (см. рис.2)

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси для твердого тела имеет вид

, (4)

где J — момент инерции системы, ε угловое ускорение, сумма моментов сил, действующих на систему.

Связь между линейным и угловым ускорениями: (5)

Вывод рабочей формулы:

Формулы кинематики для вращательного движения аналогичны формулам кинематики поступательного движения.

Основное уравнение кинематики для прямолинейного равномерного движения:

, (6)

Если S0 =0 и V0=0, путь определяется по формуле (7)

Если пренебречь силами трения, то основное уравнение динамики в проекциях на ось вращения для маятника Обербека запишется следующим образом:

, (8)

где М = RT момент сил, создаваемый силой натяжения нити,

R — радиус шкива, Т — сила натяжения нити.

Уравнение поступательного движения груза на нити: ma = тg T, (9)

где а — ускорение движущегося груза на нити, т — масса груза, g ускорение свободного падения.

Линейное ускорение поступательного движения груза может быть найдено из основного уравнения кинематики:

где S расстояние, которое проходит груз за время t.

Основное уравнение динамики вращательного движения можно проверить двумя способами:

Способ 1. Рассмотрим случай, когда момент инерции системы не изменяется (положение грузов на спицах маятника неизменно), а моменты сил различны — за счет изменения массы грузов при использовании шкивов с радиусами R1 и R2. Тогда можно из основного уравнения динамики получить соотношение:

= const (10)

Поскольку из уравнения поступательного движения груза сила натяжения нити равна

то момент сил, создаваемый силой натяжения нити М = RT = R(mg — та). (12)

Подставим значения момента силы натяжения нити и значение ускорения: с учетом, что , из уравнения (11) после соответствующих преобразований получим равенство

В эту формулу входят легко определяемые величины.. Если при подстановке измеренных величин равенство (13) выполняется (в пределах погрешностей), это означает, что основное уравнение динамики вращательного движения также справедливо.

Способ 2. Моменты сипы натяжения нити неизменны (масс груза и шкив одни и те же), но меняется момент инерции за счет изменения положения грузов на спицах прибора

На основании теоремы Штейнера-Гюйгенса полный момент инерции системы при удалении четырех грузов m на спицах на расстоянии L1:

где J00 — момент инерции маятника без грузов, J0 — момент инерции всех четырех грузов 4m‘, относительно оси, проходящей через центр масс.

!! Для различения обозначений грузы на спицах обозначены как m ,

Аналогично при удалении грузов на расстоянии L2:

(15)

Повторим, что поскольку из уравнения поступательного движения груза сила натяжения нити равна T= mgma, то момент сил, создаваемый силой натяжения нити

Подставим значения момента силы натяжения нити и значение ускорения: с учетом, что после соответствующих преобразований получим

(16)

В эту формулу входят величины, которые можно измерить на данной установке.

Если при подстановке измеренных величин равенство выполняется (в пределах погрешностей), то также справедливо основное уравнение вращательного движения.

1 задание Экспериментально проверить основное уравнение динамики при неизменном значении момента инерции маятника:

определить высоту опускания груза S ;

измерить диаметры шкивов 2R1 и 2R2 штангенциркулем в разных местах 5 раз;

определить абсолютную погрешность каждого измерения по формуле:

5. среднюю абсолютную погрешность по формуле:

Проверка основного закона динамики вращения твердого тела с помощью маятника Обербека

Главная > Лабораторная работа >Физика

Проверка основного закона динамики вращения твердого тела с помощью маятника Обербека.

Оборудование: маятник Обербека, набор грузов, секундомер.

Вращение твердого тела постоянной массы вокруг неподвижной оси описывается уравнением.

(1)

Здесь М — момент сил, действующих на тело, I— момент инерции тела, ω угловая скорость. Это — основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.

Оно напоминает уравнение Ньютона для материальной точки.

(2)

Роль массы играет момент инерции I, роль скорости V угловая скорость ω, роль силы — момент силы М, роль импульса — момент импульса .

Если момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то момент импульса остается неизменным:

При М=0 , поэтому =const.

Для замкнутой системы имеет место закон сохранения момента импульса

Всякое твердое тело можно представить как совокупность большого числа частиц элементарного объема ΔVi с массой Δmi.

Моментом инерции тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси (рис. 1).

(4)

В общем случае моменты инерции находятся интегрированием по всему объему тела

(5)

Момент инерции одного и того же тела различен для разных осей вращения. Он зависит и от направления оси, и от места ее прохождения.

момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к его плоскости, определяется формулой

(6)

момент инерции того же диска относительно оси, совпадающей c диаметром, вычисляется по формуле

(7)

Если момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, равен I0, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть вычислен на основании теоремы ГЮЙГЕНСА – ШТЕЙШЕРА.

, (8)

где a расстояние между осями.

Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня b«l. Момент инерция относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину, равен

(9)

Найти момент инерции стержня относительно оси OO.

На основании теоремы Гюйгенса – Штейнера

Математическая форма записи основных закономерностей для поступательного и вращательного движений остается неизменной. Это удобно проиллюстрировать следующей таблицей.

На крестообразном маятнике Обербека

Лабораторная работа №6

Изучение законов вращательного движения

на крестообразном маятнике Обербека

Цель Экспериментальная проверка основного уравнения вращательного движения (второго закона динамики для вращательного движения).

Оборудование: маятник Обербека, набор грузов, секундомер, штангенциркуль, линейка.

Описание экспериментальной установки:

Маятник Обербека состоит из четырех спиц с грузами массой m, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На втулке насажены два шкива различных радиусов D1 и D2 (см. рис. 1).

Втулка и шкивы насажены на общую ось, которая закреплена в подшипниках. поэтому система может свободно вращаться.

Момент инерции системы можно изменить, перемещая грузы вдоль спиц.

На один из шкивов маятника навита тонкая нить, привязанная к ней легкая платформа известной массы, служит для размещения грузов.

Если на платформу поместить груз, то система выходит из положения равновесия и начинает вращаться.

Краткая теория:

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс пматериальных точек на квадраты их расстояний r до рассматриваемой оси:

(1)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу: (2)

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J0’0’ относительно любой оси 0’0’ вращения равен сумме момента его инерции Joo, относительно параллельной оси 00, проходящей через центр масс тела и произведению массы тела на квадрат расстояния Rмежду осями 0’0’ и 00 (см. рис.2)

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси для твердого тела имеет вид

, (4)

где J— момент инерции системы, ε угловое ускорение, сумма моментов сил, действующих на систему.

Связь между линейным и угловым ускорениями: (5)

Вывод рабочей формулы:

· Формулы кинематики для вращательного движения аналогичны формулам кинематики поступательного движения.

Основное уравнение кинематики для прямолинейного равномерного движения:

, (6)

где S – путь, S0 исходный путь, V0 исходная скорость; а — ускорение; t – время.

Если S0 =0 и V0=0, путь определяется по формуле (7)

· Если пренебречь силами трения, то основное уравнение динамики в проекциях на ось вращения для маятника Обербека запишется следующим образом:

, (8)

где М = RT — момент сил, создаваемый силой натяжения нити,

R — радиус шкива, Т — сила натяжения нити.

· Уравнение поступательного движения груза на нити: ma = тg − T, (9)

где а — ускорение движущегося груза на нити, т — масса груза, g — ускорение свободного падения.

· Линейное ускорение поступательного движения груза может быть найдено из основного уравнения кинематики:

где S — расстояние, которое проходит груз за время t.

Основное уравнение динамики вращательного движения можно проверить двумя способами:

Способ 1. Рассмотрим случай, когда момент инерции системы не изменяется(положение грузов на спицах маятника неизменно), а моменты сил различны — за счет изменения массы грузов при использовании шкивов с радиусами R1 и R2. Тогда можно из основного уравнения динамики получить соотношение:

= const (10)

Поскольку из уравнения поступательного движения груза сила натяжения нити равна

то момент сил, создаваемый силой натяжения нити М = RT = R(mg — та). (12)

Подставим значения момента силы натяжения нити и значение ускорения: с учетом, что , из уравнения (11) после соответствующих преобразований получим равенство

В эту формулу входят легко определяемые величины.. Если при подстановке измеренных величин равенство (13) выполняется (в пределах погрешностей), это означает, что основное уравнение динамики вращательного движения также справедливо.

Способ2. Моменты сипы натяжения нити неизменны (масс груза и шкив одни и те же), но меняется момент инерции — за счет изменения положения грузов на спицах прибора

На основании теоремы Штейнера-Гюйгенса полный момент инерции системы при удалении четырех грузов m’ на спицах на расстоянии L1:

где J00 — момент инерции маятника без грузов, J0 — момент инерции всех четырех грузов 4m‘, относительно оси, проходящей через центр масс.

!! Для различения обозначений грузы на спицах обозначены как m’ ,

Аналогично при удалении грузов на расстоянии L2:

Учитывая. J1 = М11 и J2 = М22 из второго закона динамики вращательного движения можно записать:

(15)

Повторим, что поскольку из уравнения поступательного движения груза сила натяжения нити равна T= mg-ma, то момент сил, создаваемый силой натяжения нити

Подставим значения момента силы натяжения нити и значение ускорения: с учетом, что после соответствующих преобразований получим

(16)

В эту формулу входят величины, которые можно измерить на данной установке.

Если при подстановке измеренных величин равенство выполняется (в пределах погрешностей), то также справедливо основное уравнение вращательного движения.

Выполнение работы

1 задание Экспериментально проверить основное уравнение динамики при неизменном значении момента инерции маятника:

1 определить высоту опускания груза S ;

2 измерить диаметры шкивов 2R1 и 2R2 штангенциркулем в разных местах 5 раз;

3 определить среднее значение радиуса R1ср и R2ср

4 определить абсолютную погрешность каждого измерения по формуле:

5. среднюю абсолютную погрешность по формуле:

6. окончательный результат запишите в виде: Ri = Ric ± Δ Ric результаты занесите в таблицу;

Изучение основного закона вращательного движения (маятник Обербека)

1.3. Изучение вращательного движения при помощи маятника Обербека.doc

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.3

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ВРАЩАТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ (МАЯТНИК ОБЕРБЕКА)

  1. Определить момент инерции крестообразного маятника без дополнительных грузов.
  2. Проверить основное уравнение динамики вращательного движения .
  3. Изучить зависимость момента инерции крестообразного маятника от положения грузов на стержнях.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:

Маятник Обербека, секундомер, штангенциркуль, набор грузов, вертикальный масштаб.

Вращательное движение является одним из простейших видов движения твердого тела. Различают 2 вида вращательного движения:

  1. вращательное движение вокруг неподвижной оси;
  2. вращательное движение вокруг неподвижной точки.

Вращательным движением вокруг неподвижной оси называется движение, при котором все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, перпендикулярной плоскости этих окружностей, называемой осью вращения.

Вращательным движением вокруг неподвижной точки называется движение, при котором все точки тела движутся по поверхностям концентрических (замкнутых) сфер с центром в неподвижной точке.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все частицы тела совершают плоское движение, причем линейные скорости и ускорения частиц вообще различны. Угловая скорость вращения для всех частиц тела будет одинакова и определяется выражением

где — есть первая производная от угла поворота по времени.

Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта: вращая винт по направлению вращения твердого тела (т.т.) или материальной точки (м.т.), поступательное движение винта указывает на направление (рис.1). Если угловая скорость вращения изменяется во времени, то ее изменение можно характеризовать угловым ускорением

где — есть первая производная от угловой скорости по времени.

Направление совпадает с направлением , если движение ускоренное, и противоположно, если движение замедленное.

Для заданного вращающегося тела угловое ускорение определяется действием суммы моментов сил. Моментом сил называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора на вектор действующей силы .

Направление вектора момента сил определяется по правилу векторного произведения (правилу правого винта): вращая винт от первого вектора ко второму , поступательное движение винта указывает на направление вектора .

Модуль вектора определяется как

и численно равен площади заштрихованной фигуры (рис. 2). Учитывая, что , можно записать

где — плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от точки , относительно которой происходит вращение, до линии действия силы .

При рассмотрении момента сил относительно оси необходимо спроектировать векторное произведение на эту ось, т.е.

Из рис. 3 видно, что момент силы создается лишь силой (силой, параллельной оси ), момент силы равен нулю.

Для нахождения связи между угловым ускорением и моментом сил , действующих на него, рассмотрим движение одной какой-то частицы вращающегося тела (рис.4).

Пусть частица с массой находится на расстоянии от оси вращения . На частицу могут действовать как внутренние, так и внешние силы. Внешние силы приложены со стороны других тел, а внутренние – со стороны частей того же самого тела.

Обозначим проекцию суммы внутренних сил, действующих на , на направление, перпендикулярное к , как , а проекцию суммы внешних сил как . Тогда, применяя 2-ой закон Ньютона к каждой точке вращающегося тела, можно записать:

где – линейное ускорение точки.

Если умножить выражение (7) на и учесть, что , то получим:

где — проекция углового ускорения на ось OZ.

Величина ,численно равная произведению массы на квадрат расстояния от оси вращения, называется моментом инерции точки относительно оси вращения.

Величины и определяют моменты внутренних и внешних сил, действующих на -ю точку.

Уравнения типа (7) и (8) можно записать и для остальных точек тела. Суммируя выражение (8) по всем элементам тела, получим:

где — сумма проекций на ось всех внутренних моментов сил ( , т.к. каждая внутренняя сила имеет равную и противоположную себе силу, приложенную к другой частице тела с тем же самым плечом); — сумма проекций на ось всех внешних моментов сил, приложенных к телу; — момент инерции твердого тела относительно оси вращения , равный сумме моментов инерции отдельных элементов тела ( кг × м 2 ).

Использовав все обозначения, получим:

основной закон динамики вращательного движения.

В векторном виде этот закон может быть записан:

то есть угловое ускорение пропорционально действующему внешнему моменту сил и обратно пропорционально моменту инерции твердого тела относительно оси вращения.

Этот закон аналогичен закону динамики для поступательного движения:

где — линейное ускорение; — сумма всех внешних сил; — сумма всех элементарных масс.

Используя аналогию, можно сделать вывод о том, что момент инерции при вращательном движении играет такую же роль, как и масса при поступательном движении, т.е. момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Проверка основного закона вращательного движения производится на приборе, называемом маятником Обербека (рис. 5).

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Маятник Обербека состоит из вала диаметром , к которому прикреплены 4 одинаковых стержня , расположенных под углом 90 0 друг к другу (рис. 5). На каждом стержне закрепляется по одному грузу одинаковой массы . Благодаря возможности фиксировать данные грузы на различных расстояниях от оси вращения это позволяет изменять момент инерции маятника Обербека. На вал наматывается нить, к концу которой прикрепляется груз массой (значение можно менять). Под действием груза нить, разматываясь с вала А, приводит всю систему во вращательное движение.

В применении к маятнику Обербека экспериментально определим основные величины, входящие в уравнение (11).

Угловое ускорение. Пусть — высота падения груза массой , прикрепленного к концу нити, — время падения груза. Тогда линейное ускорение груза определяется из уравнения кинематики , как

С таким же линейным ускорением движутся точки вала , находящиеся на расстоянии от оси вращения. Используя связь между линейным и угловым ускорениями

и учитывая, что =1, получим

Момент сил. Вращающий момент системы создается силой упругости нити (силой натяжения нити ).

Учитывая, что и , имеем

где — сила натяжения нити; — радиус действия силы, совпадающий с радиусом валика .

Натяжение нити можно определить так. Запишем 2-ой закон Ньютона для падающего груза:

Учитывая выбранное направление (рис. 5), выражение (19) можно записать в виде:

а момент сил равен

Момент инерции. Так как момент инерции – величина аддитивная, то полный момент инерции системы равен:

Это интересно:

  • Управление по опеке и попечительству г уфа Управление по опеке и попечительству Администрации городского округа город Уфа Республики Башкортостан Управление по опеке и попечительству Администрации городского округа город Уфа Республики Башкортостан Адрес: 450098, Республика Башкортостан, г. Уфа, Комсомольская, 161/2 Телефоны: +7 […]
  • Конструирование суда в подготовительной группе План-конспект занятия (конструирование, ручной труд, подготовительная группа) по теме: «Судно» (конспект занятия по образовательной области «Познание» (конструирование) в подготовительной группе) разработка конспекта занятия, мультимедийная презентация Предварительный […]
  • Организация на усн налог на имущество Налог на имущество при УСН Актуально на: 20 февраля 2017 г. Организация, которая является плательщиком УСН, освобождается от уплаты большинства налогов с теми или иными исключениями. Однако налог на имущество при УСН некоторым организациям все-таки придется платить. Налог на имущество […]
  • Закон о несовершеннолетних краснодарский край Закон Краснодарского края от 21 июля 2008 г. N 1539-КЗ "О мерах по профилактике безнадзорности и правонарушений несовершеннолетних в Краснодарском крае" Обзор документа Закон устанавливает правовую основу для защиты жизни и здоровья несовершеннолетних, профилактики их безнадзорности и […]
  • Получение пенсии иностранцами Пенсия иностранным гражданам в России Подданные иных стран, осуществляющие трудовую деятельность в пределах Российской Федерации, получают право на социальные услуги за счет бюджета. В частности, им устанавливается пенсионное обеспечение при наступлении страховых случаев. Право […]
  • Статья ознакомления с материалами гражданского дела об ознакомлении с материалами гражданского дела OБРАЗЕЦ ХОДАТАЙСТВА ОБ ОЗНАКОМЛЕНИИ С МАТЕРИАЛАМИ ГРАЖДАНСКОГО ДЕЛА В ____________________________________________ (наименование судебного участка либо суда) (адрес суда либо судебного участка) Истец: […]
  • Жилищные субсидии в бирюлево МФЦ района Бирюлево Западное Многофункциональный центр — государственная организация, созданная для оказания населению и юридическим лицам комплекса государственных и муниципальных услуг в режиме «одного окна», в максимально комфортных условиях. Адрес: Востряковский проезд, […]
  • 308 уголовного кодекса российской федерации Статья 308. Отказ свидетеля или потерпевшего от дачи показаний Отказ свидетеля или потерпевшего от дачи показаний либо уклонение потерпевшего от прохождения освидетельствования, от производства в отношении его судебной экспертизы в случаях, когда не требуется его согласие, или от […]

Author: admin