Советник

Юридические услуги по корпоративному праву

Точка движется вдоль оси x по закону

Содержание:

Интегрированный урок по математике и физике. Тема: «Применение прозводной в физике и технике»

1. Повторение, обобщение и систематизация знаний о производной.

2. Закрепление навыков нахождения производных.

3. Определение физического смысла производной.

4. Рассмотрение использования механического смысла производной для решения физических задач.

5. Установление связи физических величин с понятием производной.

1. Развитие логического мышления, памяти, внимания и самостоятельности.

1. Воспитание умения слушать.

2. Воспитание патриотизма и чувства гордости за г граждан своей страны.

Организационный момент: (2 минуты)

У нас сегодня необычный урок. Он будет объединять математику с физикой.

Тема урока “Применение производной в физике и технике”.

Как сказал великий Николай Иванович Лобачевский, нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям природы, изучаемым физикой.

1. Актуализация знаний: (10 минут)

1) Дайте определение производной.

2) Найдите производную функций.

1) Что характеризует скорость?

2) Что характеризует ускорение?

3) Что характеризует сила тока?

Учитель математики: Каков механический смысл производной?

2. Интеграция знаний.

Учитель физики: Решим задачу.

Материальная точка движется прямолинейно по закону X(t)= 2+40t+ 5t 2 . Найти её скорость и ускорение в момент времени t=2c.

Давайте вспомним уравнение зависимости координаты от времени.

X(t)=X0+V0xt+

Напомните, что означают эти символы.

X0 – начальная координата;

V0X – проекция начальной скорости на ось Х;

ax – проекция ускорения на ось Х;

Решение задачи (решение записывается на доске и в тетради).

X(t)=X0+V0xt+

Вопрос классу: как найти скорость?

Учитель математики: А теперь давайте решим эту задачу другим способом.

Для этого ещё раз вспомним, каков механический смысл производной. (“Производная от координаты по времени есть скорость”)

Тогда как будем решать эту задачу?

Задача решается у доски и в тетради с использованием производной

Т.к. t=2c, то V=20+10•2=40(м/с)

Ответ: V=40м/с, а=10м/с 2 .

Вопрос к классу: какое решение короче?

Значит, при решении физических задач удобно применять производную.

Учитель физики. Давайте решим следующую задачу.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

х(t)= -2+4t+3t 3 . Найдите её скорость и ускорение в момент времени t=2c.

Учитель физики: Какой вид движения описывает это уравнение? (Прямолинейное, не равноускоренное)

Сможем ли мы решить эту задачу с помощью известных нам уравнений движения? (Нет)

Учитель математики: Зато мы легко справимся с этой задачей, используя аппарат математического анализа, то есть производную.

Ответ: V=40м/с, а=36м/с 2

Учитель физики: Решим следующую задачу:

Движение материальной точки описывается уравнением

Х=5-8t+4t 2 . Приняв массу точки равной 2 кг, найдите её импульс через 2 с.

Как найти импульс тела?

Масса нам известна, найдём скорость

V = х / (t) = -8 + 4• 2t = -8 + 8t

А как найти скорость?

Электрический заряд, протекающий через проводник, начиная с момента t=0, задаётся уравнением

Q(t)=3t 2 +t+2. Найдите силу тока в момент времени t=3c.

Какая формула отвечает на вопрос “что такое сила тока”?

I=I=

Учитель математики: Ещё раз вспомним определение производной.

Тогда чем является отношение

производной q(t))I=q / (t)=

3. Самостоятельная работа. (7 минут)

А сейчас попробуйте применить знания, полученные на уроке, при выполнении самостоятельной работы.

1. Какая из приведенных зависимостей описывает равнозамедленное движение:

2. Уравнение движения тела x=5t-2t 2 . Каковы начальная скорость и ускорение тела в момент времени t = 2с.

1. Какая из приведенных зависимостей описывает равномерное движение:

2. Точка движется вдоль оси x согласно закону x=10t-t 2 . Каковы начальная скорость и ускорение тела в момент времени t = 2с.

4. Проверка работы (1 минута)

Ручки отложили. Поменялись листочками. Проверили работы друг друга. Поставили оценки.

— выполнено одно задание – “3”,

— выполнены два задания не полностью – “4”,

— выполнены два задания полностью – “5”.

“Слеп физик без математики”. М.В.Ломоносов

Как вы понимаете это изречение?

Для решения физических задач необходимо уметь пользоваться математическим аппаратом.

На ваших листочках поставьте галочку под выбранным смайликом. Спасибо.

Тело, начавшее двигаться равноускоренно из состояния покоя, в первую секунду проходит путь S. Какой путь оно пройдёт за вторую секунду ?

-S -1,5 S -2 S +3 S -4 S

Точка движется вдоль оси X и координата в зависимости от времени изменяется по закону X = a + b t + c t**2 ( a ,b, c — постоянные величины). По какому закону изменяется ускорение точки ?

-2c + b -b + ct ?мк-1.28

Движение двух тел заданы уравнениями X1 = 6 + 2 t; X2 = 0,5 t**2. Через сколько секунд второе тело догонит первое?

Тело брошено с некоторой начальной скоростью под углом к горизонту. Учитывая сопротивление воздуха, определите ускорение тела ( а ) в верхней точке траектории.

-нет правильного ответа

Тело брошено с высокой башни вертикально вниз со скоростью V0. Учитывая сопротивление воздуха, определите ускорение тела.

-нет правильного ответа

Тело брошено вертикально вверх со скоростью 9 м/с. На какой высоте

скорость тела уменьшится в 3 раза?

Величина скорости тела за одну секунду увеличилась в два раза. Во сколько раз увеличится скорость тела за следующую секунду, если ускорение тела постоянно?

Самолёту на земле требуется взлётная полоса длиной 640 м. Какой длины палуба авианосца потребовалась бы этому самолёту, если бы он осуществлял взлёт только с помощью своих двигателей ? Двигатели самолёта на взлёте сообщают ему ускорение 5 м/с**2, скорость авианосца 72 км/час.

— 640 м -480 м -400 м +360 м -320 м ?мк-1.34

Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется в земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени двигалась пуля внутри вала ?

— 0,0036 с +0,0018 с -0,0025 с -0,0042 с -0,036 с ?мк-1.35

Пуля, летящая со скоростью 400 м /с ,ударяется в земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Чему была равна её скорость на глубине 18 см ?

-365 м / с -220 м / с +283 м / с -156 м / с -240 м/с ?мк-1.36

Величина скорости тела за одну секунду увеличилась в два раза. Во сколько раз увеличится скорость тела за следующую секунду, если ускорение тела постоянно?

За седьмую секунду равноускоренного движения модуль вектора скорости увеличился на 1,4 м /с. На сколько увеличился модуль вектора скорости за первые две секунды движения ?

+2,8 м/с -3,6 м/с -4,3 м/с -5,8 м/с -1,5 м/с ?мк-1.38

К концу первой секунды равнозамедленного движения модуль скорости тела равен 2 м /с, а к концу второй — 1 м /с. Определите модуль начальной скорости тела.

-1 м/с -2 м/с +3 м/с -4 м/с -5 м/с ?мк1.39

Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты 990 м. Выстрел произведён вертикально вверх. Определить начальную скорость пули. Средняя скорость звука в воздухе 330 м /с.

-250 м/с +345 м/с -427 м/с -560 м/с

С высоты 2 м вертикально вверх бросили тело с начальной скоростью 5 м /с. Найти путь пройденный телом за всё время движения.

-2,7 м -3,5 м +4,5 м -5,2 м -6,8 м ?мк-1.41

На какую максимальную высоту поднимется тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 8 м /с ?

— 6,4 м -5, 8 м -4,6 м +3,2 м -2,3 м ?мк-1.42

Спортсмен прыгнул с 10 метровой вышки в воду. Определить скорость вхождения спортсмена в воду и время пребывания в полёте. Сопротивлением воздуха пренебречь ( g = 10 м/с**2).

+14,1 м/с; 1,41 с -24,5 м/с; 1,41 с -14,1 м/с; 2,51 с -30,2 м/с; 2,48 с

Тело падает с высоты h и при отскоке от земли теряет 20 % своей скорости. Определить максимальную высоту, на которую поднимется тело после удара.

-0,26 h -0, 35 h -0, 42 h -0,51 h +0,64 h0 ?мк-1.44

Определите высоту здания, если капля воды падала с его крыши в течение 5

с ( g = 10 м/с**2). +125 м -248 м -372 м -85 м -189 м ?мк-1.45

Частица движется вдоль оси Х по закону Х = -19 + 20 t — t**2. Найти модуль скорости частицы.

-10 + 5 t +20 — 2 t -20 t — t**2 -20 -10

Частица движется вдоль оси Х по закону Х = -19 + 20 t — t**2. Найти модуль ускорения частицы.

-5 м/с**2 -4 м/с**2 -3 м/с**2 +2 м/с**2 -1 м/с**2 ?мк-1.47

Частица движется вдоль оси Х по закону Х = -19 + 20 t — t**2. Найти путь пройденный частицей за время t.

-40 t — t**2 -30 t — t**2 +20 t -t**2 -10 t — t**2 -5 t — t**2 ?мк-1.50

За какое время мимо наблюдателя пройдут первые три вагона поезда, движущегося равноускоренно, если первый вагон прошёл за 4 с? Расстоянием между вагонами пренебречь, начальная скорость поезда равна нулю.

-12 с -8,2 с -7,5 с +6,9 с

От высокой скалы откололся и стал свободно падать камень. Какой скоростью он будет иметь через 3 с от начала падения?

-4,2 м/с -20 м/с ?мк-1.52

Точка движется по закону Х = 5 + 2t — 5t**2. Определите координату в которой скорость точки станет равной нулю.

+5,2 м -3,6 м -7,8 м -10 м -2,5 м ?мк-1.53

По оси Х движутся два тела: первое по закону Х1 = 8 + 2 t, второе по закону Х2 = 4 + 3 t . В какой момент времени тела окажутся в одной точке оси Х ?

Звук выстрела и пуля одновременно достигли высоты 680 м. Чему равна начальная скорость пули? Выстрел произведён вертикально вверх. Сопротивление движению пули не учитывать. Скорость звука принять равной

340 м/с ( g = 10 м/с**2). -250 м/с -290 м/с +350 м/с -390 м/с -450 м/с ?мк-1.56

Лестница прислонена к стене пол углом а. Низ лестницы начинают двигать горизонтально со скоростью V так, что её верх скользит по стене. С какой скоростью двигается верх лестницы ?

+V tg а -V sin а -V cos а

-среди ответов нет правильного

Автомобиль, остановившись перед светофором, набирает затем скорость 54 км/час на отрезке пути 50 м. С каким ускорением он должен двигаться? Сколько времени будет длиться разгон ?

+2,25 м/с**2; 6,7 с -1, 85 м/с**2; 3,9 с -3,75 м/с**2; 7,3 с -4,8 м/с**2; 8,2 с -5,62 м/с**2; 8,83 с ?мк-1.59

Автомобиль, двигаясь равномерно, проходит путь 25 м за 5 с, после чего в течение следующих 10 с, двигаясь равноускоренно, проходит 150 м. С каким ускорением двигался автомобиль на втором участке ?

-1 м/с**2 +2 м/с**2 -3 м/с**2 -4 м/с**2 -3,5 м/с**2 ?мк-1.60

Автомобиль, трогаясь с места, движется равноускоренно с ускорением 2 м/с**2. Какой путь он пройдёт за четвёртую секунду?

-3 м -4 м -5 м -6 м +7 м

При равноускоренном движении из состояния покоя тело проходит за пятую секунду 90 см. Определите путь тела за седьмую секунду?

— 0,6 м +1,3 м -2,8 м -3,2 м -4,08 м ?мк-1.62

Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигалось равноускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м/с. Какой была скорость тела, когда оно прошло половину этого расстояния?

-2 м/с -3 м/с -4 м/с +5 м/с -6 м/с ?мк-1.63

Тело, скатываясь с наклонной плоскости с некоторой начальной скоростью, за 3 секунды проходит путь 2 м, а в последующие 3 секунды 4 м. Считая движение равноускоренным, найдите ускорение и начальную скорость.

-15 м/с**2; 0,2 м/с +22 м/с**2; 0,33 м/с -25 м/с**2; 0,42 м/с -35 м/с**2; 0,54 м/с -42 м/с**2; 0,63 м/с ?мк-1.64

Тело падает с высоты 20 м без начальной скорости. Определите его скорость в момент достижения поверхности земли.

-12 м/с +20 м/с -32 м/с -25,3 м/с -8 м/с ?мк-1.66

Тело падает с начальной скоростью 5 м/с. Какой будет его скорость через 3 с после начала падения?

-15 м/с -25 м/с +35 м/с -45 м/с -12,5 м/с ?мк-1.67

Камень бросили вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с. С какой высоты бросили камень, если он падал 2 секунды?

-10 м -20 м +30 м -40 м -50 м ?мк-1.68

Мяч бросили вертикально вверх и поймали его через 2 с. На какую высоту поднялся мяч?

-2 м -3 м -4 м +5 м

Мяч бросили вертикально вверх и поймали его через 2 с. Определите начальную скорость мяча.

-5 м/с -7,5 м/с +10 м/с -12,5 м/с -0,5 м/с ?мк-1.70

С какой начальной скоростью нужно бросить тело вертикально вверх, чтобы через 10 с оно двигалось со скоростью 20 м/с вниз?

-20 м/с -40 м/с -60 м/с +80 м/с -12,5 м/с ?мк-1.71

Склон длиной 100 м лыжник прошёл за 20 с, двигаясь с ускорением 0,3 м/с**2. Определить скорость лыжника в начале склона.

-0 м/с -1 м/с +2 м/с -3 м/с -2,5 м/с ?мк-1.72

Склон длиной 100 м лыжник прошёл за 20 с, двигаясь с ускорением 0,3 м/с2. Определить скорость лыжника в конце склона.

-2 м/с -4 м/с -6 м/с +8 м/с -12,5 м/с ?мк-1.74

Во сколько раз скорость пули в середине ствола ружья меньше, чем при вылете из ствола? Движение пули считать равноускоренным.

-в 2,15 раза -в 3,6 раза

-в 2,41 раза -в 4,41 раза

Тело брошено вертикально вверх со скоростью V. На какой высоте скорость тела уменьшится по модулю в три раза?

Тело падает с высоты h и при отскоке от земли теряет 10 % своей скорости. Определить максимальную высоту, на которую поднимется тело после удара.

-0,23 h -0,45 h -0,52 h -0,64 h +0,81 h ?мк-1.77

Поезд двигаясь под уклон, прошёл за 20 с путь 340 м и развил скорость 19 м/с. С каким ускорением двигался поезд?

— 0,1 м/с**2 +0,2 м/с**2 -0,4 м/с**2 -0,45 м/с**2 -0,6 м/с**2 ?мк-1.78

Поезд двигаясь под уклон, прошёл за 20 с путь 340 м и развил скорость 19 м/с. Какой была скорость поезда в начале движения?

-5 м/с -10 м/с +15 м/с -20 м/с -2,5 м/с ?мк-1.81

Движение точки задано уравнением X = 5 + 4 t + t**2. Определите среднюю

Материалы раздела: Решения задач

Иродов – 4.9

Иродов 4.9. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x по закону x = a cos ωt. Считая вероятность P нахождения частицы в интервале от -a до +a равной единице, найти зависимость от x плотности вероятности dP/dx, где dP — вероятность нахождения частицы в интервале от x до x + dx. Изобразить график dP/dx в зависимости […]

Иродов – 4.7

Иродов 4.7. Частица движется вдоль оси x по закону x = a cos ωt. Найти путь, который она пройдет за промежуток времени от t = 0 до t. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 4.5

Иродов 4.5. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,60 с и амплитудой a = 10,0 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь a/2: а) из крайнего положения; б) из положения равновесия. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 4.3

Иродов 4.3. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x около положения равновесия x = 0. Частота колебаний ω = 4,00 рад/с. В некоторый момент координата частицы x0 = 25,0 см и ее скорость vx0 = 100 см/с. Найти координату x и скорость vx частицы через t = 2,40 с после этого момента. Скачать решение: Скачать […]

Иродов – 4.2

Иродов 4.2. Некоторая точка движется вдоль оси x по закону x = a sin2 (ωt — π/4). Найти: а) амплитуду и период колебаний; изобразить график x (t); б) проекцию скорости vx как функцию координаты x; изобразить график vx (x). Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 3.401

Иродов 3.401. Частица с удельным зарядом q/m находится внутри соленоида круглого сечения на расстоянии r от его оси. В обмотке включили ток, и индукция магнитного поля стала равной B. Найти скорость частицы и радиус кривизны ее траектории, считая, что за время нарастания тока в соленоиде ее смещение пренебрежимо мало. Скачать решение: Скачать решение задачи

Иродов – 3.400

Иродов 3.400. Чтобы в циклотроне не возникала расстройка, связанная с изменением периода обращения частицы при возрастании ее энергии, медленно изменяют (модулируют) частоту ускоряющего поля. По какому закону надо изменять эту частоту ω (t), если индукция магнитного поля равна B и частица приобретает за один оборот энергию ΔW? Заряд частицы q, масса m. Скачать решение: Скачать […]

Иродов – 3.399

Иродов 3.399. Так как период обращения электронов в однородном магнитном поле с ростом энергии быстро увеличивается, циклотрон оказывается непригодным для их ускорения. Этот недостаток устраняется в микротроне (рис. 3.105), где изменение периода обращения электрона ΔT делают кратным периоду ускоряющего поля T0. Сколько раз электрону необходимо пройти через ускоряющий промежуток микротрона, чтобы приобрести энергию W = […]

Иродов – 3.397

Иродов 3.397. Протоны ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории r = 50 см. Найти: а) кинетическую энергию протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклотроне B = 1,0 Т; б) минимальную частоту генератора циклотрона, при которой в конце ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию Т = 20 МэВ. Скачать […]

Иродов – 3.396

Иродов 3.396. Частота генератора циклотрона ν = 10 МГц. Найти эффективное ускоряющее напряжение на дуантах этого циклотрона, при котором расстояние между соседними траекториями протонов с радиусом r = 0,5 м не меньше, чем Δr = 1,0 см. Скачать решение: Скачать решение задачи

Точка движется вдоль оси x по закону

Разделы

Дополнительно

Задача по физике — 3286

Точка движется вдоль оси $x$ со скоростью, проекция которой $v_$ как функция времени описывается графиком (рис.). Имея в виду, что в момент $t = 0$ координата точки $x = 0$, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения $a_$, координаты $x$ и пройденного пути $s$.

Задача по физике — 3287

За промежуток времени $\tau = 10,0 с$ точка прошла половину окружности радиуса $R = 160 см$. Вычислить за это время:
а) среднюю скорость $\langle v \rangle$;
б) модуль среднего вектора скорости $| \langle \vec \rangle |$;
в) модуль среднего вектора полного ускорения $| \langle \vec \rangle |$, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

Задача по физике — 3288

Задача по физике — 3289

В момент $t = 0$ частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону $\vec = \vec_ <0>(1 — t/ \tau)$, где $\vec_<0>$ — вектор начальной скорости, модуль которого $v_ <0>= 10,0 см/с, \tau = 5,0 с$. Найти:
а) координату х частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с;
б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат;
в) путь $s$, пройденный частицей за первые 4,0 и 8,0 с; изобразить примерный график $s(t)$.

Задача по физике — 3290

Частица движется в положительном направлении оси x так, что ее скорость меняется по закону $v = \alpha \sqrt$, где $\alpha$ — положительная постоянная. Имея в виду, что в момент $t = 0$ она находилась в точке $x = 0$, найти:
а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы;
б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые $s$ метров пути.

Задача по физике — 3291

Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости $v$ по закону $w = a \sqrt$, где $a$ — положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_<0>$. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Задача по физике — 3292

Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем $t$ по закону $\vec = at \vec — bt^ <2>\vec$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные, $\vec$ и $\vec$ — орты осей х и у. Найти:
а) уравнение траектории точки $y(x)$; изобразить ее график;
б) зависимости от времени векторов скорости $\vec$, ускорения $\vec$ и модулей этих величин;
в) зависимость от времени угла а между векторами $\vec$ и $\vec$;
г) средний вектор скорости за первые $t$ секунд движения и модуль этого вектора.

Задача по физике — 3293

Точка движется в плоскости $xy$ по закону: $x = at, y = at (1 — \alpha t)$, где $a$ и $\alpha$ — положительные постоянные, $t$ — время. Найти:
а) уравнение траектории точки $y(x)$; изобразить ее график;
б) скорость $v$ и ускорение $w$ точки в зависимости от времени;
в) момент $t_<0>$, в который вектор скорости составляет угол $\pi /4$ с вектором ускорения.

Задача по физике — 3294

Точка движется в плоскости $xy$ по закону $x = a \in \omega t, y = a (1 — \cos \omega t)$, где $a$ и $\omega$ — положительные постоянные. Найти:
а) путь $s$, проходимый точкой за время $\tau$;
б) угол между векторами скорости и ускорения точки.

Задача по физике — 3295

Частица движется в плоскости $xy$ с постоянным ускорением $\vec$, направление которого противоположно положительному направлению оси $y$. Уравнение траектории частицы имеет вид $y = ax — bx^<2>$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.

Задача по физике — 3296

Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью $\vec_<0>$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) перемещение тела в функции времени $\vec(t)$;
б) средний вектор скорости $\langle v \rangle$ за первые $t$ секунд и за все время движения.

Задача по физике — 3297

Тело бросили с поверхности Земли под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_<0>$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) время движения;
б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла $\alpha$ они будут равны друг другу;
в) уравнение траектории $y(x)$, где $y$ и $x$ — перемещения тела во вертикали и горизонтали соответственно;
г) радиусы кривизны начала и вершины траектории.

Задача по физике — 3298

Имея в виду условие предыдущей задачи, изобразить примерные графики зависимости от времени модулей векторов нормального $w_$ и тангенциального $w_< \tau>$ ускорений, а также проекции вектора полного ускорения $w_$ на направление вектора скорости.

Задача по физике — 3299

Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом. Пролетев расстояние $h$, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?

Задача по физике — 3300

Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

Физический материал на уроках математики

V. Элементы анализа и физики

Статья опубликована при поддержке интернет – портала «Турскидки.ru». Хотите организовать свой отдых, но не можете выбрать среди множества туроператоров? Тогда портал «Турскидки.ru» это то что вам нужно. Только здесь вы сможете подобрать туры на Бали, Каппадокию и другие курорты, и не промахнуться с ценой, выбирая из лучших предложений ведущих операторов. Посетите сайт портала www.tourskidki.ru и распланируйте свой отпуск.

Производная как скорость изменения функции

Ученики подчас отождествляют скорость изменения функции с механической скоростью. Поэтому при введении понятия производной целесообразно разнообразить функции и аргументы.

1. При равномерном прямолинейном движении при неравномерном – v = S’ (t).

2. При постоянном токе при переменном токе I = q’ (t).

3. При равномерном движении по окружности , при неравномерном – w = j ‘ (t).

4. Рассмотрим известную формулу

(физика, 8 класс), где Q – количество теплоты, m – масса, D T – разность температур, c – удельная теплоемкость. Для m = 1 кг Q = c D T. Для изменяющейся температуры c = Q’ (T).

5. В школьном курсе физики и в повседневной жизни рассматривается объемная плотность, равная массе единицы объема: ( r – плотность, m – масса, V – объем).

Под линейной плотностью подразумевается масса единицы длины: (l – длина).

Рассмотрим стержень с неоднородной плотностью (неоднородный стержень). Пусть начало координат (рис. 64) совпадает с концом стержня, а весь стержень лежит вдоль оси Ol. Средняя плотность между точками l1 и l2 равна отношению

Производная и первообразная

Во многих задачах физики приходится в одних случаях по заданной функции находить производную, а в других – по заданной производной восстанавливать функцию, т. е. находить первообразную. Кажется целесообразным «отрабатывать цепочку» в двух направлениях.

Задача 1. Материальная точка движется по закону x = 4 + 2t + t 2 (м).

а) Найдите скорость и ускорение. Убедитесь, что при замене начальной координаты (4 м) на другие ее значения, например, на 0, 1, 5 (м) величина скорости не изменится, а при замене начальной скорости (2 м/с) на 0, 1, 5 (м/с) величина ускорения не изменится.

б) По найденному ускорению определить скорость и координату.

а) x = 4 + 2t + t 2 , v = 2 + 2t.
x = 2t + t 2 , v = 2 + 2t.
x = 1 + 2t + t 2 , v = 2 + 2t.
x = 5 + 2t + t 2 , v = 2 + 2t.
v = 2 + 2t, a = 2.
v = 2t, a = 2.
v = 1 + 2t, a = 2.
v = 5 + 2t, a = 2.

б) a = 2, v = 2t + C (постоянная интегрирования есть начальная скорость). Для значений начальной скорости 0, 1, 5 (м/с) имеем
v = 2t, v = 1 + 2t, v = 5 + 2t.

Пусть v = 5 + 2t. Тогда , где C – начальная координата.

Для x0 = 0 x = 2t + t 2 ;

для x0 = 1 x = 1 + 2t + t 2 ;
для x0 = 5 x = 5 + 2t + t 2 .

Задача 2. а) x = 2 + 3t – t 2 + 5t 3 (м).

v = x ‘(t) = 3 – 2t + 15t 2 (м/с),

a = v’ (t) = – 2 + 30t (м/с 2 ); a’ (t) = 30 (м/с 3 ).

a’ (t) – скорость изменения ускорения.

Уравнение координаты вида x = k + k1t + k2t 2 + k3t 3 соответствует движению с изменяющимся ускорением, но при этом скорость изменения ускорения есть величина постоянная, т. е. a’ (t) = const.

б) a’ (t) = 30, a = 30t + C, где C – начальное ускорение.

Пусть C = – 2 м/с 2 . Тогда a = – 2 + 30t, v = C1 – 2t + 15t 2 .

Пусть C1 = 3 м/с. Тогда v = 3 – 2t + 15t 2 , x = C2 + 3t – t 2 + 5t 3 .

Пусть C2 = 2 м. Тогда x = 2 + 3t – t 2 + 5t 3 .

Задачи, помогающие раскрыть суть постоянной интегрирования

Задача 1. Тело движется со скоростью v = 4cos t. За время оно прошло 20 м. Найдите уравнение координаты.

Решение. x = 4sin t + C. По условию C = 18.

x = 4sin t + 18 (м).

Задача 2. Найдите кинетическую энергию тела, имеющего в момент t = 4 с ускорение a = 3t – 2 (м/с 2 ), если масса тела равна 5 кг, а скорость при t = 0 равна 2 м/с.

Решение.

По условию

Три задачи с одной математической моделью

Задача 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y = 6x – x 2 и осью абсцисс.

Решение. При x = 0 y = 0; при y = 0 x1 = 0, x2 = 6.

Задача 2. Тело движется прямолинейно со скоростью v = 6t – t 2 (м/с). Найдите длину пути, пройденного телом от начала движения до остановки.

Решение. При подстановке v0 = 0 или 6t – t 2 = 0, t1 = 0, t2 = 6.

Задача 3. По цепи идет переменный ток I = 6t – t 2 (А). Найдите величину заряда, прошедшего по цепи за первые 6 с.

Решение.

Ответ: 36 Кл (Кл – кулон).

Площади, произведение двух величин, сумма произведений, интегральные суммы, интеграл

Задача 1. Какой величины заряд проходит через проводник за 5 с, если:

а) сила тока равна 6 А;
б) сила тока равномерно возрастает от нуля до 4 А;
в) сила тока изменяется по закону I = t + 2;
г) сила тока изменяется по закону I = t 2 – 2t + 3?

q = It = 6 ж 5 = 30 (Кл),

1) Найдем приближенное значение величины заряда как сумму площадей пяти прямоугольников.

I(0) = 3, I(1) = 2, I(2) = 3, I(3) = 6, I(4) = 11, I(5) = 18,

q d S = 2,5 ж 1 + 2,5 ж 1 + 4,5 ж 1 + 8,5 ж 1 + 14,5 ж 1 = 32,5 (Кл).

2) Найдем искомый заряд с помощью интеграла

Задача 2. Определите координату точки через 6 с после начала движения, если:

а) скорость равна 5 м/с;
б) скорость равномерно возрастает от нуля до 6 м/с (равноускоренное движение с начальной скоростью, равной нулю, и ускорением 1 м/с 2 );
в) скорость изменяется по закону v = 2t + 3 (равноускоренное движение с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с 2 ;
г) скорость изменяется по закону v = t 2 – 4t + 5 (движение с изменяющимся ускорением, но при этом скорость изменения ускорения есть величина постоянная).

Задача 3. Определите работу по перемещению груза на расстояние 4 м, если сила, приложенная к грузу,

а) равна 4 Н (A = Fx);
б) равномерно возрастает от нуля до 5 Н;
в) изменяется по закону F = x + 3;
г) изменяется по закону

(Предполагается, что направление действия силы совпадает с направлением перемещения груза.)

Задача 4. Определите массу стержня длиной 3 м, если:

а) линейная плотность стержня равна 5 кг/м;
б) линейная плотность стержня равномерно убывает от 8 кг/м до 2 кг/м.

Задачи 2–4 предлагается решить самостоятельно.

Задачи, связанные с коэффициентом пропорциональности

Задачи этого типа вызывают определенные трудности у учеников. Их решение следует начинать с определения коэффициента пропорциональности.

Задача 1. Скорость движения, пропорциональная квадрату времени, в конце четвертой секунды равна 1 м/с. Чему равен путь, пройденный за первые 10 с?

Решение. 1 = k ж 4 2 ,

Ответ:

Задача 2. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Определите скорость колеса через 48 с после начала движения.

Решение. По условию j = kt 2 , где j – угол поворота, t – время. 1 = k ж 8 2 , Угловая скорость

Задача 3. Неоднородный стержень AB имеет длину 12 см. Масса его части AB растет пропорционально квадрату расстояния точки M от конца A и равна 10 г при AM = 2 см. Найдите массу всего стержня и линейную плотность в точках A и B.

Решение. Пусть длина отрезка AM = x (см), тогда m = kx 2 , где k – коэффициент пропорциональности. Имеем 10 = k ж 2 2 , k = 2,5.

Масса стержня равна m = 2,5 ж 12 2 = 360.

Линейная плотность равна r l = m’ (x) = 2kx = 5x.

В точке A m’ (x) = m’ (0) = 0.

В точке B m’ (x) = m’ (12) = 5 ж 12 = 60.

Ответ: 360 г, 60 г/см.

Задача 4. На материальную точку действует сила, которая меняется обратно пропорционально квадрату расстояния до некоторого объекта. Известно, что она составила 1 Н, когда расстояние до объекта было 2 м. Вычислите работу этой силы по перемещению материальной точки из пункта, находящегося на расстоянии 10 м от объекта, до пункта, находящегося на расстоянии 3 м.

Решение. По условию

Ответ:

Задача 5. Дождевая капля, начальная масса которой m0, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что убыль массы пропорциональна времени. Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

Решение. Кинетическая энергия

Через искомые t с масса станет равной m0 – kt, а

Ответ:

Задачи на наименьшие и наибольшие значения

Проблема нахождения наименьших и наибольших значений играет первостепенную роль в физике, технике, экономике. Речь идет об определении предельно возможных значений физических и других величин, экономии времени, энергии, материалов, о предупреждении аварийных ситуаций и др.

Предложенные задачи носят выборочный характер, они лишь в небольшой степени отражают масштабность затронутой проблемы.

Задача 1. Электрические заряды q1 = 5 нКл и q2 = 11 нКл расположены на расстоянии r друг от друга. Как перераспределить заряды, чтобы сила взаимодействия между ними была наибольшей?

Решение. По закону Кулона сила взаимодействия между зарядами

Для получения наибольшей силы надо от q2 отнять 3 нКл и передать q1.

Задача 2. Электрическая цепь состоит из двух параллельно соединенных проводников. При каком соотношении между сопротивлениями этих проводников сопротивление наибольшее, если при последовательном соединении сопротивление цепи равно 6 Ом?

Решение. При последовательном соединении R = R1 + R2,

при параллельном –

Так как R1 + R2 = 6 = const, то R1R2 достигает наибольшего значения при R1 = R2 = 3 (Ом) и, следовательно,

достигает этого значения.

Примечание. При решении задач 1 и 2 была применена теорема:

произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей.

Приведем другой способ решения задачи 2.

и мы имеем максимум.

Задача 3. Река шириной 120 м течет со скоростью 1,5 м/с. Лодочник, который может грести со скоростью 2,5 м/с, хочет достичь противоположного берега в кратчайшее время. Найдите это время и направление движения лодочника относительно берега.

Решение. Для достижения поставленной цели необходимо, чтобы результирующая скорость была направлена перпендикулярно берегам реки (наименьшему расстоянию соответствует минимальная затрата времени) (рис. 69).

Ответ: 60 с, 53° приближенно.

Задача 4. Между точками A и B движется по прямой тело таким образом, что выходя из точки A с начальной скоростью v0 = 0, оно должно иметь в точке B скорость v = 0. При этом тело может двигаться с постоянным по модулю ускорением и равномерно. Каким должен быть характер движения, чтобы время его было минимальным?

Решение. Пройденный путь может быть изображен в виде площади трапеции или треугольника (рис. 70).

Ответ. Первую половину времени тело должно двигаться равноускоренно, а второю половину равнозамедленно.

Утверждение. Если где a > 0, a1 > 0, a2 > 0, . an > 0, то a

Задача 6. К конденсатору емкостью Cx надо присоединить другой так, чтобы в результате получилась емкость меньше 3 мкф (микрофарад).

Решение. При последовательном соединении конденсаторов

К конденсатору емкость Cx надо присоединить последовательно другой конденсатор емкостью C m 3 (мкф) (рис. 72).

Теорема. Если a > 0 и b > 0, то

(другие неравенства доказываются подобным образом).

Задача 7. Докажите, что если две силы приложены к одной точке под углом 90°, то где F – равнодействующая F1 и F2.

Сформулируем задачу по-другому. Докажите, что в прямоугольном треугольнике наибольшее значение суммы длин катетов равно длине гипотенузы, умноженной на (рис. 73, 74).

Задача 8. Определите минимальное расстояние между предметом и его действительным изображением в собирающей линзе с фокусным расстоянием F.

Решение. – формула тонкой линзы, где d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы до изображения предмета, F – фокусное расстояние.

Наименьшему расстоянию d + f соответствует d = f (рис. 75).

Из находим

Второй способ решения. Пусть d + f = a, f = a – d,

Третий способ решения.

При d = 2F имеем наименьшее расстояние, равное 4F.

Четвертый способ.

При d = 2F f = 2F, а d + f = 4F.

Принцип Ферма

Пьер Ферма (1601–1665 гг.) в результате решения многих задач провозгласил так называемый принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу природа заставляет все явления совершаться с минимальной затратой энергии, времени и др. (Принцип Ферма не является универсальным.) Например, свет выбирает из всех возможных траекторий, соединяющих две точки, ту, которая требует наименьшего времени.

Применительно к закону преломления света – время прохождения границы двух сред минимально при

где V1 и V2 – скорости распространения света в разных средах, например, в воздухе и воде, a – угол падения, b – угол преломления.

«Перенесем» принцип Ферма из оптики в механику.

Задача 9. Лодка M находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки A берега. Пассажир лодки желает достигнуть точки B, находящейся на берегу на расстоянии 5 км от A. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может пройти в час 5 км. К какому пункту берега должна прибыть лодка, чтобы пассажир достиг B в кратчайшее время?

Решение. Время будет минимальным при (рис. 76)

Ответ: AO = 4 км, OB = 1 км.

Другой способ решения.

Пусть AO = x. Тогда OB = 5 – x и

Ответ: 4 км, 1 км.

Задача 10. Пешеход должен пройти из пункта A, находящегося на одном тротуаре, в пункт B, находящийся на другом тротуаре. Зная, что скорость движения по тротуару в m раз ( m > 1) больше, чем по мостовой, определить под каким углом j пешеход должен пересечь улицу для того, чтобы совершить путь в кратчайшее время.

Если допустить, например, m = 2, то j = 60°.

Задачи (11–13), решение которых основано на выделении полного квадрата

Задача 11. Материальная точка движется по закону x = t 2 – 4t + 5 (координата в метрах, время в секундах). Через сколько секунд координата будет наименьшей, и чему она будет равна?

Решение. x = (t – 2) 2 – 4 + 5 = (t – 2) 2 + 1.

Ответ: t = 2 с, x = 1 м.

Задача 12. Материальные точки m1 и m2 движутся по осям x и y. В момент t = 0 точка m1 находится на расстоянии 10 м, а m2 на расстоянии 5 м от начала координат. Каково наименьшее расстояние между ними, если m1 движется со скоростью 2 м/с, а m2 – со скоростью 4 м/с?

Решение. Пусть AB – искомое расстояние. Тогда (рис. 77)

Ответ:

Объем продуктов сгорания, выходящих через трубу за единицу времени, определяется формулой где T – абсолютная температура газов в трубе, T0 – абсолютная температура наружного воздуха, k – коэффициент пропорциональности. При каком соотношении T и T0 объем продуктов сгорания, выходящих через трубу, будет наибольшим (тяга будет наилучшей)?

Ответ: максимальный объем будет при T = 2T0.

VI. Разные задачи

1. Отклонение температуры t от нормальной t0 не превышает 4°. Запишите это с помощью математических символов.

2. Дана запись колебаний температуры за 0,2 с (рис. 78). Определите период колебаний.

3. Определите период переменного тока в осветительных сетях, если частота тока 50 колебаний за секунду (50 герц).

4. Дан график движения поезда на одной из линий метро. Определите период функции v(t), расстояние между двумя соседними станциями и среднюю скорость за один период.

T = 80 с; l = 50 ж 24 = 1200 м;

5. По данному графику определите среднюю скорость движения за 10 с.

S = 0.5 ж 2 ж 1 + 3 ж 1 +0.5 ж (1 + 5) ж 2 + 3 ж 5 = 25 (м).

6. Коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя

где T1 – абсолютная температура нагревателя, T2 – абсолютная температура холодильника.
При каких условия кпд был бы равен: а) единице; б) нулю?

Из формулы видно, что большей разности T1 – T2 соответствует большее значение кпд. Данные математического исследования учитываются при конструировании и эксплуатации тепловых двигателей.

7. Механическая работа определяется формулой A = FScos a (рис. 81). При каких значениях угла a работа будет максимальной, будет равна половине максимально возможной, будет равна нулю?

a = 0, a = 60°, a = 90°.

8. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью v0, определяется формулой

а максимальная высота поднятия

а) При каком значении угла a дальность полета будет наибольшей?

sin 2 a = 1, a = 45°.

б) Докажите, что при a = 30° и a = 60°, a = 70° и a = 20°, a = 40° и a = 50° дальность полета будет одинаковой. Сделайте обобщение.

в) Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы высота его подъема составила

sin 2 a = sin 2 a , sin a (sin a – 2cos a ) = 0, tg a = 2, a d 64°.

Ответ: приближенно 64°.

(Обратите внимание на решение тригонометрических уравнений в общем виде и применительно к реальным явлениям, а также к геометрическим задачам.)

9. Солнечные лучи падают на горизонтально расположенное зеркало m под углом 40° (рис. 82). Отражаясь от него, они падают на второе зеркало n и вновь отражаются от него. Под каким углом к горизонтальной плоскости нужно расположить второе зеркало, чтобы отраженные от него лучи падали перпендикулярно к горизонтальной плоскости?

Решение. F ABC = 40°, F ABD = F DBC = 20°.

F OBC = 70°, F BOC = 20°.

10. Высота передающей антенны телецентра 520 м, а высота приемной антенны телевизора 10 м. На каком предельном расстоянии от передатчика можно вести прием?

Решение. Телепередачи ведутся на ультракоротких волнах, которые распространяются в пределах прямой видимости (эти волны не могут огибать кривизну земной поверхности) (рис. 83).

OA1 = OB = OC1 + R = 6400 км,
AA1 = 520 м = 0,52 км,
CC1 = 10 м = 0,01 км.

Искомое расстояние AC = AB + BC.

Ответ: приближенно 91,2 км.

11 (задача для самостоятельного решения). Какой наименьшей высоты должна быть приемная антенна, чтобы обеспечить прием на расстоянии 150 км от телецентра, если высота передающей антенны 520 м?

12. Под каким углом a должен плыть пловец, чтобы из точки A попасть в точку C, если скорость пловца v = 3 м/с, скорость течения v0 = 1 м/с, F BAC = 45° (см. рис. 84)?

13. Под каким углом к горизонту должен вылететь снаряд, чтобы дальность полета была 9 км, если начальная скорость снаряда v0=600 м/с?

Решение. Составим систему уравнений

В момент падения снаряда x = 9000, а y = 0.

(Задачи 12 и 13 можно использовать при прохождении темы «Тригонометрические уравнения».)

14. Корабль идет по прямой с постоянной скоростью vк = 20 км/ч. С какой скоростью подходит спереди перпендикулярно к его курсу моторная лодка (см. рис. 85), если с корабля лодка видна под постоянным углом 60°?

Ответ: приближенно 34,6 км.

15. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебательные движения по закону x = 7sin 0,5 p t,

а) проходит от положения равновесия до максимального смещения;
б) сместится на половину амплитуды?

Заключение

Использование физического материала содействует развитию навыков в применении математического аппарата, дает возможность применять различные методы (векторный, координатный и др.) для решения прикладных задач, помогает формировать у учеников представление о роли математики в изучении окружающего мира, видеть разницу между реальным и идеальным, между физическим явлением и его математической моделью, вызывает дополнительный интерес и мотивацию к учению.

Отобранный для уроков математики физический материал должен быть простым и, желательно, уже изученным на уроках физики.

Это интересно:

  • Пенсия вредность 2 сетка Льготная пенсия по вредности в 2018 году Пенсионный возраст в России наступает для женщин в 55 лет, а для мужчин в 60. Однако при определенных условиях возможен выход на пенсию в досрочном порядке. В частности, тогда, когда человек был занят на опасном и вредном производстве. Общая […]
  • На таганке нотариус На таганке нотариус Нотариус на Таганке. тел. 580-60-10 Понедельник-Пятница - с 10 до 19. Выезд к клиенту - ежедневно. Без очередей и обеда.Суббота,Воскресенье-только выезд пер. Маяковского, дом 2, подъезд 3, оф. 43 Добавить этот сайт в избранное можно ЗДЕСЬ Необходимо выйти из […]
  • Как подать жалобу в уфнс Жалоба на бездействие налоговой инспекции: образец Актуально на: 13 июля 2017 г. Жалоба на бездействие налогового органа (образец) Если плательщик считает, что налоговики бездействовали в то время, когда должны были действовать, и из-за этого нарушены его права (например, ИФНС нарушила […]
  • Правило получения пособия по безработице Пособие по безработице – условия и сроки выплаты Практически любой человек, потерявший работу, может встать на биржу труда – государственный орган, и получать некоторое время пособие по безработице. Подробнее об этом понятии, а также о выплачиваемых суммах и сроках можно прочесть в […]
  • Налог в древней руси в пользу церкви Налоги в древней Руси После крещения Руси князь Владимир возвел в Киеве церковь святой Богородицы и дал ей десятину от всех доходов. В летописи мы находим об этом следующее сообщение: «Создах церковь св. Богородица десятинную и дах ей десятину по всей земле Русской: из княжения в […]
  • Частная жалоба порядок исполнения Позвони мне, позвони: новое в правилах извещения о рассмотрении частной жалобы После масштабных изменений порядка обжалования судебных решений в вышестоящих судах, которые были внесены в ГПК РФ в конце 2010 года (Федеральный закон от 9 декабря 2010 г. № 353-ФЗ "О внесении изменений в […]
  • Откройте ветку реестра Как зайти в реестр Windows 10/8/7/XP? (Видео) Многие начинающие пользователи задаются вопросом, как зайти в реестр Windows 10, 8, 7 или XP. Сколько не перебирай пункты меню «Пуск», ярлык на реестр в нём не найти! Как же открыть реестр в Windows? Дело в том, что любое необдуманное […]
  • Лунный день заключения брака Свадьба в 10-е Лунные сутки: значение и характеристика дня для бракосочетания Как влияет луна на заключение брака сегодня? Десятый лунный день для свадьбы – это просто идеальный период, лучшего не найти во всем лунном календаре. Союз, который вы заключите сейчас, будет максимально точно […]
Все права защищены. 2018