Законы сохранения потока

Законы сохранения потока

Первое начало термодинамики, которое записывалось в виде уравнения

применимо для объектов, находящихся в относительном покое. Систему отсчета всегда можно выбрать так, чтобы фиксированный объем текущей среды находился в покое. В такой специально подобранной системе координат изменения состояния элементарного объема термодинамически описываются уравнением (106.1). Для движущихся объемов уравнение (106.1), оставаясь справедливым, уже не будет отражать всех сторон передачи и превращения энергии. Для более полного описания изменений в текущих средах следует учесть ряд обстоятельств, которые рассмотрены ниже.

Пусть течение среды происходит во внешних силовых полях с потенциалом , рассчитанным на единицу массы. Тогда при движении элементарного объема с массой следует учесть изменение внутренней энергии и, энергии движения — и потенциальной энергии

Изменение этой суммы происходит как вследствие макроскопических, так и микроскопических способов передачи энергии. В

свободном потоке макроскопический обмен энергии между элементарными объемами происходит вследствие работы перемещения и работы расширения:

Микроскопическая передача энергии в общем случае в потоке определяется также двумя составляющими:

первая из которых определяет количество передаваемой теплоты, вторая характеризует микрофизические процессы передачи и превращения энергии, отличные от тех процессов, которые определяются величиной В частности, может быть обусловлено вязкостью среды. Величину назовем субтеплотой, этим названием подчеркивается сходство слагаемых (106.4) как характеристик микрофизических процессов передачи и превращения энергии.

Из изложенного следует, что теплота и субтеплота в движущихся системах расходуются на изменение внутренней энергии, кинетической и потенциальной энергии, а также на совершение работ расширения и перемещения.

Это уравнение перепишем так, чтобы справа стоял полный дифференциал функции состояния элементарного объема системы:

Выражение (106.6) представляет собой запись закона сохранения энергии для элемента объема текучих сред. Величина

входящая в правую часть обобщенная энергия элементарного объема. Составляющая энергии имеет смысл потенциальной энергии: ее дифференциал связан как с работой расширения, так и с работой перемещения.

С введением энтальпии переписывается так:

Для идеального газа мольная теплоемкость при постоянном давлении):

Соотношение (106.6) в соответствии с (106.1) распадается на два уравнения:

Таким образом, при течении сред происходят процессы двух типов — тепловые и субтепловые. Эти две стороны процесса течения аналитически объединены тем, что изменение потенциальной функции влияет на них обеих. При неустановившемся изолированном потоке среды в отдельных элементарных объемах изменения энтропии могут быть как положительными, так и отрицательными; во всем же потоке энтропия с течением времени всегда увеличивается

Определение сети, потока

В транспортной сети выделяются две вершины: исток [math]s[/math] и сток [math]t[/math] .

1) [math]f(u,v)=-f(v,u)[/math] (антисимметричность);

2) [math]|f(u,v)| \leqslant c(u,v)[/math] (ограничение пропускной способности), если ребра нет, то [math]f(u,v)=0[/math] ;

3) [math]\sum\limits_v f(u,v)=0[/math] для всех вершин [math]u[/math] , кроме [math]s[/math] и [math]t[/math] (закон сохранения потока).

Величина потока [math]f[/math] определяется как [math]|f|=\sum\limits_ f(s,v)[/math] .

Также существует альтернативное определение (по Асанову), не вводящее антисимметричность (зачастую, из-за этого с ним труднее работать):

1) [math]0 \leqslant f(e) \leqslant c(e)[/math] для всех [math]e\in E[/math] ;

2) [math]f(v-) = f(v+)[/math] для всех [math]v\in V, v\ne s, v\ne t[/math] , где [math]f(v-)=\sum\limits_ f(w,v), f(v+)=\sum\limits_ f(v,u)[/math] .

Здесь [math] s [/math] — источник, а [math] t [/math] — сток сети [math]G[/math] ( [math]s[/math] имеет нулевую степень захода, а [math]t[/math] имеет нулевую степень исхода); через [math]v+[/math] обозначено множество вершин, к которым идут дуги из вершины [math]v[/math] ; через [math]v-[/math] обозначено множество вершин, из которых идут дуги в вершину [math]v[/math] ; [math]c(e)[/math] называется пропускной способностью дуги [math]e[/math] и неотрицательно.

Число [math]f(v,w)[/math] можно интерпретировать, например, как количество жидкости, поступающей из [math]v[/math] в [math]w[/math] по дуге [math](v,w)[/math] . С этой точки зрения значение [math]f(v-)[/math] может быть интерпретировано как поток, втекающий в вершину [math]v[/math] , а [math] f(v+) [/math] — вытекающий из [math] v [/math] . Условие 1) называется условием ограничения по пропускной способности, а условие 2) — условием сохранения потока в вершинах; иными словами, поток, втекающий в вершину [math] v [/math] , отличную от [math] s [/math] или [math] t [/math] , равен вытекающему из неё потоку.

Пример сети с источником [math]s[/math] и стоком [math]t[/math] .

Первое число означает величину потока, второе — пропускную способность ребра. Отрицательные величины потока не указаны (так как они мгновенно получаются из антисимметричности: [math]f(u,v)=-f(v,u)[/math] ). Сумма входящих рёбер везде (кроме источника и стока) равна сумме исходящих и на то, что в общем [math]c(u,v) \neq c(v, u)[/math] . Кроме того, величина потока на ребре никогда не превышает пропускную способность этого ребра.

Величина потока в этом примере равна [math] 5 + 2 = 7 [/math] (считаем от вершины [math]s[/math] ).

4.Законы сохранения в стационарном потоке идеальной жидкости. Метод контрольных поверхностей.

В механике сплошных сред часто не нужно знать детали течений, а только некоторые интегральные характеристики. При этом часто используется метод нахождения характеристик стационарных течений, основанный на использовании интегралов уравнений динамики и термодинамики сплошной среды по некоторым объемам, называемым контрольными объемами. Эти объемы не являются индивидуальными, их выбирают из соображений удобства. Проинтегрируем уравнения механики сплошных сред(3.18) по такому объему, и посмотрим, какие при этом получатся следствия для стационарных течений.

4.1. Закон сохранения массы.

Начнем с уравнений неразрывности

Проинтегрируем дифференциальное уравнения сохранения массы по некоторому произвольному стационарному объему:

(4.1)

и используя вторую вспомогательную формулу (1.18), преобразуем первое слагаемое в (4.1) к виду .

Применяя теорему Остроградского-Гаусса к правой части предыдушего соотношения, имеем из закона сохранения массы:

(4.2)

Где  — поверхность, ограничивающая объем V. Обсудим смысл уравнения (4.2): в левой части (4.2)— изменение массы внутри некоторого объема; в правой части — интеграл от потока некоторого вектора через границу этого объема. Этот вектор будем называть вектором плотности потока массы. Действительно, рассмотрим площадку малой площади S на поверхности  с вектором нормали . Пусть жидкость( газ) пересекает эту поверхность со скоростью. Масса жидкости, протекающая через эту площадку за времяt в направлении нормали, равна:

В единицу времени через единицу площадки протекает масса:

Таким образом, введенный выше вектор , действительно имеет смысл плотности потока массы

В стационарном потоке из ( 4.2) следует:

(4.3)

Следовательно, поток массы через замкнутую поверхность в этом случае равен 0.

Рассмотрим трубку тока. Для этого рассмотрим в жидкости произвольный контур S и проведем через него линии тока. Полученная поверхность называется трубкой тока. Вектор скорости направлен по касательной к боковой поверхности трубки тока. Пусть течение стационарно. Тогда трубка тока — стационарная поверхность. Применим к ней закон сохранения массы(4.3). Интеграл по боковой поверхности равен 0, т.к. vn| = 0, () = 0,.

Тогда (4.3) можно переписать в виде суммы интегралов по сечениям S1?2

=0 (4.4)

Пусть трубка тока очень тонкая, так что интегрирование по соответствующим сечениям можно заменить произведением. Полагая также, что площадки S1 и S2 перпендикулярны векторам скорости, из (4.4) нетрудно получить, что – 1S1v1 + 2S2v2 = 0, т.е. вдоль тонкой трубки тока сохраняется величина:

Это закон сохранения потока массы для тонкой трубки тока.

4.2. Закон сохранения импульса. Тензор потока импульса.

Теперь обратимся к закону сохранения импульса для ее i-й проекции( ср.2.23):

(4.6)

Прибавим к этому уравнению (4.6) комбинацию ,равную нулю по закону сохранения массы. Тогда имеем:

Введем вектор . Тогда очевидно, что мы получили закон сохранения i-й компоненты импульса в дивергентной форме:

(4.7)

Если мы теперь проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V и применим теорему Остроградского-Гаусса, то получимиз (4.7):

(4.8)

При Fi = 0 изменение i-й компоненты импульса в объеме V равно потоку вектора через площадку, ограничивающую этот объем.В связи с этим вектор называется вектором плотности потока i-й компоненты импульса. Таких векторов будет 3, так как есть три проекции вектора скорости. Из интегральной формулы видно, что — поток импульса через площадку, ориентированную перпендикулярно вектору . Тогда проекция вектора на направление показывает потокi-й компоненты импульса через площадку, вектор нормали к которой направлен по . Поэтому выражение для проекцииij является тензором:

Девять величин ij образуют тензор (симметричный), который называется тензором потока импульса. Запишем разные выражения для вектора потока импульса и разные выражения для закона сохранения импульса

1. Поток импульса

= = vi vn ij nj, (4.10)

= vi vn + pni

2. Закон сохранения импульса

(4.11)

В векторном виде

с учетом определения имеем:

(4.12)

Для идеальной жидкости в векторном виде:

(4.13)

Для стационарного течения жидкости в отсутствие внешних сил имеем:

(4.14)

Или для идеальной жидкости:

(4.15)

Эти интегралы используются для вычисления сил, действующих на поверхности твердых тел. Соответствующий метод называется методом контрольных поверхностей

закон потока

Большой англо-русский и русско-английский словарь . 2001 .

Смотреть что такое «закон потока» в других словарях:

Закон Бернулли — является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости: Здесь плотность жидкости, скорость потока, высота, на которой находится рассматриваемый… … Википедия

ЗАКОН ОДНОСТОРОННЕГО ПОТОКА ЭНЕРГИИ В ЦЕНОЭКОСИСТЕМАХ — (биоценозах), закон, согласно которому энергия, получаемая биоценозом, путем эндотермического фотосинтеза автотрофными огранизмами продуцентами вместе с их биомассой передается гетеротрофным организмам консументам (сначала фитофагам, от них… … Экологический словарь

ЗАКОН ИНДУКЦИИ — закон, открытый в 1831 г. Фарадеем, гласит, что при изменении магнитного потока Ф через площадь S, ограниченную каким либо контуром, в контуре возникает электродвижущая сила Е, зависящая от скорости изменения магнитного потока во времени. Закон… … Большая политехническая энциклопедия

Закон Ньютона — Закон Ньютона Рихмана эмпирическая закономерность, выражающая тепловой поток между разными телами через температурный напор. Теплоотдача это процесс теплообмена между теплоносителем и твёрдым телом. Теплопередача это… … Википедия

Закон сохранения электрического заряда — гласит, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы сохраняется. Требование релятивистской инвариантности приводит к тому, что закон сохранения заряда имеет локальный характер: изменение заряда в любом наперёд заданном объёме… … Википедия

ЗАКОН БЕРНУЛЛИ — один из основных законов гидродинамики, который связывает скорость потока идеальной несжимаемой жидкости и давление при установившемся течении. Согласно этому закону давление текущей жидкости больше в тех сечениях потока, в которых скорость его… … Большая политехническая энциклопедия

закон Тальбота — закономерность, согласно коей видимая яркость источника прерывистого света по достижении частоты слияния мельканий становится равной яркости непрерывного света с теми же значениями светового потока. Словарь практического психолога. М.: АСТ,… … Большая психологическая энциклопедия

Закон одностороннего потока энергии — в ценоэкосистемах (биоценозах) энергия, получаемая биоценозом путем эндотермического фотосинтеза автотрофными организмами продуцентами, вместе с их биомассой передается гетеротрофным организмам консумен там (сначала фитофагам, от них зоофагам… … Экологический словарь

ЗАКОН БЕРНУЛЛИ — ЗАКОН БЕРНУЛЛИ, для стабильно текущего потока (газа или жидкости) сумма давления, кинетической энергии на единицу объема и потенциальной энергии на единицу объема является постоянной в любой точке потока. Пользуясь этим соотношением, которое было … Научно-технический энциклопедический словарь

ЗАКОН ЛИНДЕМАНА — правило 10%, принцип Линдемана, термодинамическая интерпретация циркуляции потока энергии через трофические уровни в экосистеме. Закон, открытый Линдеманом (1942), согласно которому только часть (10%) энергии, поступившей на определенный… … Экологический словарь

ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ — закон, открытый в 1831 г. М. Фарадеем. Согласно этому закону устанавливается зависимость ЭДС (см.) Е от скорости изменения магнитного потока Ф через поверхность S, и записывают следующим образом: Закон лежит в основе электротехники (генераторов… … Большая политехническая энциклопедия

Законы сохранения потока

В основе явлений вязкости и теплопроводности лежит один и тот же механизм молекулярного переноса: в первом случае — количества движения, во втором — кинетической энергии хаотического движения молекул. Естественно поэтому, приняв модель идеальной жидкости, как жидкости без трения, отказаться одновременно и от теплопроводности, сохраняя возможность наличия других видов теплопередачи (например, лучеиспускания).

Изложенный в предыдущей главе общий закон сохранения энергии в применении к совершенному идеальному газу будет иметь следующую интегральную форму:

Вспомним основную в термодинамике совершенного газа формулу связи между теплоемкостями газа и газовой постоянной

Формула (17) легко выводится из определения теплоемкости при постоянном давлении как отношения элементарного приращения отнесенного к единице массы газа количества тепла к приращению температуры при сохранении постоянного давления

если это отношение вычислить, используя уравнение первого начала термодинамики совершенного газа удельный объем

и применить уравнение Клапейрона

Тогда будем иметь:

откуда и следует формула (17).

Пользуясь формулой (17), можно значительно упростить выражение закона сохранения энергии (16), если выразить отнесенную к единице массы внутреннюю энергию газа через так называемое теплосодержание (энтальпию) или, как еще иногда говорят, тепловую функцию по (17) так:

После этого уравнение (16) может быть записано в виде

Второй и третий интегралы в правой части соединяются вместе и, в силу уравнения непрерывности (18) гл. II, оказываются в сумме равны

Итак, будем иметь следующую интегральную форму закона сохранения энергии в движущемся идеальном и совершенном газе:

из которой обычным приемом получим и дифференциальную форму того же закона

Предположим теперь, что объемные силы отсутствуют и движение стационарно; кроме того, отвлечемся от притока тепла извне, т. е. будем считать движение газа адиабатическим. Тогда закон сохранения энергии приведется к равенствам:

Из (19) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока (для стационарного движения это одно и то же) будет выполняться равенство

выражающее известную теорему Бернулли для сжимаемого газа (см. § 25): в адиабатическом, стационарном потоке идеального совершенного газа при отсутствии объемных сил сумма отнесенных к единице массы теплосодержания и кинетической энергии сохраняет постоянное значение вдоль траектории или линии тока частицы.

Если в правую часть общего уравнения (19) подставить, согласно Уравнению Эйлера,

то можно получить равенство

или после сокращения слева и справа на член следующее не зависящее от характера поля объемных сил выражение того же закона сохранения энергии

Если движение баротронно, то по предыдущему

после чего уравнение баланса энергии приобретает вид

Из равенства (21) вытекает, что в случае баротронного движения, а к такого типа движению сводится большинство разбираемых в настоящем курсе движений, приток тепла определяет изменен.. тзности тепловой функции и функции давлений. При адиабатическом движении и уравнение (21) приводит к соотношению

справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовом поле действующих на движущийся газ объемных сил. Докажем, что уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из курса термодинамики адиабаты

с показателем равным отношению теплоемкостей и постоянной С, определяемой по заданным значениям: в некоторой точке адиабаты.

Действительно, переписывая (22) в вилс

и замечая, что по (17),

будем иметь, дифференцируя (22) по давлению

откуда следует дифференциальное равенство

которое после интегрирования и приводит к (23).

Наряду с функциями состояния и введем в рассмотрение еще одну функцию состояния — отнесенную к единице массы газа энтропию определяемую известным дифференциальным соотношением

где, в общем случае, под бесконечно малой величиной будем понимать отнесенное к единице массы количество тепла, образовавшееся обратимым путем за время в элементарном объеме газа.

Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство т. е. энтропия сохраняет вдоль траектории свою величину, то такое движение называется изэнтропическим.

Как известно, возрастание энтропии в изолированной (адиабатической) системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, связанные с «потерями» механической энергии.

Примером образования таких механических потерь могут служить потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах.

Следует четко разграничивать понятия адиабатического и изэнтропического движений среды. Процесс движения жидкости и газа может быть адиабатическим и вместе с тем не изэнтропическим, если при отсутствии теплопроводности и лучеиспускания, принимаемом в идеальных схемах, или, более обще, при отсутствии теплоотдачи в потоке почему-либо возникает необратимым образом тепло. Движение может быть, наоборот, неадиабатическим, но изэнтропическим, если тепловыделения, связанные с превращением механической энергии в тепло, компенсируются путем теплопроводности или лучеиспускания. Само собою разумеется, что реальные движения являются неадиабатическими и неизэнтропическими и могут рассматриваться в качестве адиабатических или изэнтропических лишь в известном приближении.

В идеальном газе непрерывное адиабатическое движение является вместе с тем и изэнтропическим, так как при отсутствии внутреннего трения и теплопроводности все процессы в нем обратимы.

Можно вывести общую формулу для энтропии совершенного газа, если в правую часть равенства (24) подставить выражение из уравнения первого начала термодинамики

и разделить обе части таким образом полученного равенства на 7; тогда получим

или замечая еще, что на основании (17)

найдем искомое выражение для бесконечно малого приращения энтропии

откуда интегрированием получим

Значение константы здесь не существенно, так как приходится иметь дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значениями.

Из уравнения (26) вытекает вновь, что адиабатическое движение идеального газа, подчиняющееся соотношению (23), является изэнтроническим. Соотношение (23) можно было бы назвать изэнтропической адиабатой или, короче, изэнтропой.

Это интересно:

  • Содержание и форма искового заявления гпк Исковое заявление и его реквизиты по ГПК РФ. Порядок исправления недостатков искового заявления Исковое заявление – установленная законом форма обращения в суд за разрешением спора о субъективном праве. В исковом заявлении выражается воля заинтересованного лица, обращающегося в суд за […]
  • Правила отельеров Правила отельеров Вадим ЗЕЛЕНСКИЙ, председатель Ассоциации Бизнес Туризма (г. Москва) Для большинства городских гостиниц самой привлекательной аудиторией являются деловые туристы, в первую очередь – корпоративные клиенты. Это связано с тем, что их поездки практически не имеют сезонных […]
  • Патент в хабаровских ТРАМВАЙ ПАТЕНТОВ Вот уже год в крае действует патентная система налогообложения, призванная облегчить ведение бизнеса начинающим предпринимателям. Стала ли она популярной в их среде, как отразилась на наполняемости бюджетов, какие перспективы у новой фискальной меры? Вначале 2014 года […]
  • Как получить субсидию на бизнес 2018 Субсидии на открытие малого бизнеса в 2018 году Государственная поддержка малого бизнеса является важным направлением экономической политики: сегодня в России работают более 5,5 миллионов субъектов малого и среднего бизнеса, на долю которых приходится 21% Валового внутреннего продукта […]
  • Оформить кредит на телефон с 18 лет Банки, дающие кредит с 18 лет (список банков) Современная молодёжь рано встаёт на ноги и, получая знания в учебных заведениях, дополнительно подрабатывают в свободное время. Но зачастую этих денег не хватает. Тогда встаёт вопрос: в каком банке можно взять кредит по достижении […]
  • Самара красноглинский районный суд Самара красноглинский районный суд Красноглинский районный суд г. Самара Суббота и Воскресение Суббота и Воскресение ВРЕМЯ ПРИЁМА ГРАЖДАН Официальные сайты участков мировых судей Красноглинского судебного района г.Самары Судебный участок №18 Судебный участок №19 Судебный участок №20 […]
  • Где брать разрешение на строительство дома Зачем нужно разрешение на строительство? Анна Мазухина, Эксперт Службы Правового консалтинга компании "Гарант" Любой владелец участка – и не важно, каким образом тот ему достался и какое имеет назначение – рано или поздно планирует построить на нем дом. Кто-то думает о загородной даче, […]
  • Правило получения пособия по безработице Пособие по безработице – условия и сроки выплаты Практически любой человек, потерявший работу, может встать на биржу труда – государственный орган, и получать некоторое время пособие по безработице. Подробнее об этом понятии, а также о выплачиваемых суммах и сроках можно прочесть в […]

Author: admin